Tìm môđun và acgumen của số phức

Bài viết hướng dẫn tìm môđun và acgumen của một số phức bất kỳ, đây là một dạng toán căn bản trong chương trình Giải tích 12 chương 4 mà học sinh cần nắm vững, ngoài ra bài viết còn cung cấp một số ví dụ nâng cao và mở rộng của dạng toán này. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu số phức trên TOANMATH.com.

Phương pháp: Nhìn chung các bài tập này có cách giải như sau: Giả sử ta cần tìm một acgumen của số phức $z$. Ta cần biến đổi sao cho $z$ có dạng $z = rleft( {cos varphi + isin varphi } right).$ 1. Với $z = a + bi, (a,b in R)$ ta có mô đun của $z$ là $r = sqrt {{a^2} + {b^2}}$, và $1$ acgumen của $z$ là $varphi $ thỏa $c{rm{os}}varphi = frac{{{a^2}}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$; $sin varphi = frac{{{b^2}}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$ 2. Với $z = r(c{rm{os}}varphi + isin varphi )$ thì $z$ có mô đun là $r$ và $1$ acgumen của $z$ là $varphi.$ 3. Với $z = r(cos varphi - i sin varphi )$ $ = rleft[ {c{rm{os}}( - varphi ) + i sin ( - varphi )} right].$ 4. Với $z = r(sin varphi + i c{rm{os}}varphi )$ $ = rleft[ {c{rm{os}}(frac{pi }{2} - varphi ) + i sin (frac{pi }{2} - varphi )} right].$

Các ví dụ điển hình thường gặp: Ví dụ 1. Cho số phức $z = 1 - sin varphi + icos varphi ,$ $0 < varphi < frac{pi }{2}.$ Tìm một acgumen của số phức $z$.

$z = 1 - sin varphi + icos varphi $ $ = 1 - cos left( {frac{pi }{2} - varphi } right) + isin left( {frac{pi }{2} - varphi } right)$ $ = 2{sin ^2}left( {frac{pi }{4} - frac{varphi }{2}} right)$ $ + 2isin left( {frac{pi }{4} - frac{varphi }{2}} right)cos left( {frac{pi }{4} - frac{varphi }{2}} right)$ $ = 2sin left( {frac{pi }{4} - frac{varphi }{2}} right)$ $left[ {sin left( {frac{pi }{4} - frac{varphi }{2}} right) + icos left( {frac{pi }{4} - frac{varphi }{2}} right)} right]$ $ = 2sin left( {frac{pi }{4} - frac{varphi }{2}} right)$ $left[ {cos left( {frac{pi }{4} + frac{varphi }{2}} right) + isin left( {frac{pi }{4} + frac{varphi }{2}} right)} right].$ Do $0 < varphi < frac{pi }{2}$ nên $2sin left( {frac{pi }{4} - frac{varphi }{2}} right) > 0.$ Vậy, một acgumen của $z$ là $frac{pi }{4} + frac{varphi }{2}.$

Ví dụ 2. Cho số phức $z$ có mô đun bằng $1$ và $varphi $ là một acgumen của $z.$ a. Tìm một acgumen của $frac{{overline z }}{z}.$ b. Tìm một acgumen của $overline z + z$ nếu $cos varphi ne 0.$

Từ giả thiết suy ra $z = cos varphi + isinvarphi .$ a. Ta có $frac{{overline z }}{z} = frac{{cos varphi - isin varphi }}{{cos varphi + isin varphi }}$ $ = frac{{cos left( { - varphi } right) + isin left( { - varphi } right)}}{{cos varphi + isin varphi }}$ $ = cos left( { - 2varphi } right) + isin left( { - 2varphi } right).$ Vậy một acgumen của $z$ là $ - 2varphi .$ b. Ta có: $overline z + z = 2cos varphi .$ + Nếu $cos varphi > 0$ thì $overline z + z = 2cos varphi $ $ = 2cos varphi left( {cos 0 + isin 0} right).$ Lúc đó $0$ là một acgumen của $overline z + z.$ + Nếu $cos varphi < 0$ thì $overline z + z = - 2cos varphi .( - 1)$ $ = - 2cos varphi left( {cos pi + isin pi } right).$ Lúc đó $pi $ là một acgumen của $overline z + z.$

Ví dụ 3. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: a. $z = 1 + cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}.$ b. $z = 1 + cos frac{pi }{3} - isin frac{pi }{3}.$ c. $z = 1 - cos frac{{2pi }}{5} + isin frac{{2pi }}{5}.$ d. $z = - 1 - sin frac{pi }{3} + isin frac{pi }{6}.$ e. $z = - 1 + sin frac{pi }{6} - isin frac{pi }{6}.$

a. $z = 1 + cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}$ $ = 2{cos ^2}frac{pi }{8} + 2isin frac{pi }{8}cos frac{pi }{8}.$ Vậy $left{ begin{array}{l} r = 2cos frac{pi }{8} varphi = frac{pi }{8} end{array} right.$ b. $z = 1 + cos frac{pi }{3} - isin frac{pi }{3}$ $ = 2{cos ^2}frac{pi }{6} + 2isin frac{pi }{6}.cos frac{pi }{6}$ $ = 2cos frac{pi }{6}left( {cos frac{pi }{6} - isin frac{pi }{6}} right)$ $ = 2cos frac{pi }{6}left[ {cos left( { - frac{pi }{6}} right) + isin left( { - frac{pi }{6}} right)} right].$ Vậy $left{ begin{array}{l} r = 2cos frac{pi }{6} = sqrt 3 varphi = - frac{pi }{6} end{array} right.$ c. $z = 1 - cos frac{{2pi }}{5} + isin frac{{2pi }}{5}$ $ = 2{sin ^2}frac{pi }{5} + 2isin frac{pi }{5}.cos frac{pi }{5}$ $ = 2sin frac{pi }{5}left( {sin frac{pi }{5} + icos frac{pi }{5}} right)$ $ = 2sin frac{pi }{5}left( {cos frac{{3pi }}{{10}} + isin frac{{3pi }}{{10}}} right).$ Vậy $left{ begin{array}{l} r = 2sin frac{pi }{5} varphi = frac{{3pi }}{{10}} end{array} right.$ d. $z = - 1 - sin frac{pi }{3} + isin frac{pi }{6}$ $ = - 1 - cos frac{pi }{6} + 2isin frac{pi }{6}$ $ = - 2{cos ^2}frac{pi }{{12}} + 2isin frac{pi }{{12}}cos frac{pi }{{12}}$ $ = 2cos frac{pi }{{12}}left( { - cos frac{pi }{{12}} + isin frac{pi }{{12}}} right)$ $ = 2cos frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{11pi }}{{12}} + isin frac{{11pi }}{{12}}} right).$ Vậy $left{ begin{array}{l} r = 2cos frac{pi }{{12}} varphi = frac{{11pi }}{{12}} end{array} right.$ e. $z = - 1 + sin frac{pi }{6} - isin frac{pi }{6}$ $ = - 1 + cos frac{pi }{3} - isin frac{pi }{3}$ $ = - 2{sin ^2}frac{pi }{6} - 2isin frac{pi }{6}.cos frac{pi }{6}$ $ = 2sin frac{pi }{6}left( { - sin frac{pi }{6} - icos frac{pi }{6}} right)$ $ = 2.frac{1}{2}left( {sin frac{{7pi }}{6} + icos frac{{7pi }}{6}} right)$ $ = cos left( { - frac{{2pi }}{3}} right) + isin left( { - frac{{2pi }}{3}} right).$ Vậy $left{ begin{array}{l} r = 1 varphi = - frac{{2pi }}{3} end{array} right.$

Ví dụ 4. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: a. $z = 1 + frac{1}{{sqrt 2 }} - frac{1}{{sqrt 2 }}i.$ b. $z = 2 - sqrt 2 - isqrt 2 .$ c. $z = 2sqrt 3 + 3 + isqrt 3.$ d. $z = frac{{sqrt 3 }}{3} - frac{2}{3} + frac{1}{3}i.$

Ta kí hiệu $r$ và $varphi $ lần lượt là môđun và acgumen của số phức $z$, ta có: a. $z = 1 + frac{1}{{sqrt 2 }} - frac{1}{{sqrt 2 }}i$ $ = 1 + cos frac{pi }{4} - isin frac{pi }{4}$ $ = 2{cos ^2}frac{pi }{8} - 2isin frac{pi }{8}.cos frac{pi }{8}$ $ = 2cos frac{pi }{8}left( {cos frac{pi }{8} - isin frac{pi }{8}} right)$ $ = 2cos frac{pi }{8}left[ {cos left( { - frac{pi }{8}} right) + isin left( { - frac{pi }{8}} right)} right].$ Vậy $left{ begin{array}{l} r = 2cos frac{pi }{8} varphi = - frac{pi }{8} end{array} right.$ b. $z = 2 - sqrt 2 - isqrt 2 $ $ = 2left( {1 - frac{{sqrt 2 }}{2} - frac{{isqrt 2 }}{2}} right)$ $ = 2left( {1 - cos frac{pi }{4} - isin frac{pi }{4}} right)$ $ = 2left( {2{{sin }^2}frac{pi }{8} - 2isin frac{pi }{8}.cos frac{pi }{8}} right)$ $ = 4sin frac{pi }{8}left( {sin frac{pi }{8} - icos frac{pi }{8}} right)$ $ = 4sin frac{pi }{8}left( {cos frac{{3pi }}{8} - isin frac{{3pi }}{8}} right)$ $ = 4sin frac{pi }{8}left[ {cos left( { - frac{{3pi }}{8}} right) + isin left( { - frac{{3pi }}{8}} right)} right].$ Vậy $left{ begin{array}{l} r = 4sin frac{pi }{8} varphi = - frac{{3pi }}{8} end{array} right.$ c. $z = 2sqrt 3 + 3 + isqrt 3 $ $ = 2sqrt 3 left( {1 + frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)$ $ = 2sqrt 3 left( {1 + cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right)$ $ = 2sqrt 3 left( {2{{cos }^2}frac{pi }{{12}} + 2isin frac{pi }{{12}}.cos frac{pi }{{12}}} right)$ $ = 4sqrt 3 cos frac{pi }{{12}}left( {cos frac{pi }{{12}} + isin frac{pi }{{12}}} right).$ Vậy $left{ begin{array}{l} r = 4sqrt 3 cos frac{pi }{{12}} varphi = frac{pi }{{12}} end{array} right.$ d. $z = frac{{sqrt 3 }}{3} - frac{2}{3} + frac{1}{3}i$ $ = - frac{2}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3} + frac{1}{3}i$ $ = frac{2}{3}left( { - 1 + frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)$ $ = frac{2}{3}left( { - 2{{sin }^2}frac{pi }{{12}} + 2isin frac{pi }{{12}}.cos frac{pi }{{12}}} right)$ $ = frac{4}{3}sin frac{pi }{{12}}left( { - sin frac{pi }{{12}} + icos frac{pi }{{12}}} right)$ $ = frac{4}{3}sin frac{pi }{{12}}left( {sin left( { - frac{pi }{{12}}} right) + icos left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right)$ $ = frac{4}{3}sin frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{7pi }}{{12}} + isin frac{{7pi }}{{12}}} right).$ Vậy $left{ begin{array}{l} r = frac{4}{3}sin frac{pi }{{12}} phi = frac{{7pi }}{{12}} end{array} right.$

Ví dụ 5. Gọi ${z_1}, {z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} - 2iz - 4 = 0$, ${z_1}$ có phần thực âm. Tính môđun và acgumen của các số phức sau: a. $w = z_1^2.{z_2}.$ b. $w = frac{{{z_1}}}{{{z_2} - 2}}.$ c. $w = left( {{z_1} - 2} right)left( {{z_2} - 2} right).$ d. $w = overline {{z_1}.} left( {2 - overline {{z_2}} } right).$

Ta gọi $r$ và $varphi $ lần lượt là môđun và acgumen của số phức $w.$ Giải phương trình: ${z^2} - 2iz - 4 = 0$ ta được $2$ nghiệm là: ${z_1} = - sqrt 3 + i = 2left( { - frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)$ $ = 2left( {cos frac{{5pi }}{6} + isin frac{{5pi }}{6}} right)$ (vì ${z_1}$ có phần thực âm). ${z_2} = sqrt 3 + i = 2left( {frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)$ $ = 2left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).$ a. Ta có: $z_1^2 = 4left( {cos frac{{5pi }}{3} + isin frac{{5pi }}{3}} right)$, ${z_2} = 2left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).$ Suy ra: $w = z_1^2.{z_2}$ $ = 4.2.left[ {cos left( {frac{{5pi }}{3} + frac{pi }{6}} right) + isin left( {frac{{5pi }}{3} + frac{pi }{6}} right)} right]$ $ = 8left( {cos frac{{11pi }}{6} + isin frac{{11pi }}{6}} right).$ Vậy $w$ có môđun và một acgumen là: $left{ begin{array}{l} r = 8 varphi = frac{{11pi }}{6} end{array} right.$ b. Ta có ${z_2} - 2 = sqrt 3 + i - 2$ $ = 2left( { - 1 + frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)$ $ = 2left( { - 1 + cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right)$ $ = 2left( { - 2{{sin }^2}frac{pi }{{12}} + 2isin frac{pi }{{12}}.cos frac{pi }{{12}}} right)$ $ = 4sin frac{pi }{{12}}left( { - sin frac{pi }{{12}} + icos frac{pi }{{12}}} right)$ $ = 4sin frac{pi }{{12}}left[ {sin left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right]$ $ = 4sin frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{7pi }}{{12}} + isin frac{{7pi }}{{12}}} right).$ Suy ra: $w = frac{{{z_1}}}{{{z_2} - 2}}$ $ = frac{{2left( {cos frac{{5pi }}{6} + isin frac{{5pi }}{6}} right)}}{{4sin frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{7pi }}{{12}} + isin frac{{7pi }}{{12}}} right)}}$ $ = frac{1}{{2sin frac{pi }{{12}}}}$$left[ {cos left( {frac{{5pi }}{6} - frac{{7pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{5pi }}{6} - frac{{7pi }}{{12}}} right)} right]$ $ = frac{1}{{2sin frac{pi }{{12}}}}left( {cos frac{{3pi }}{{12}} + isin frac{{3pi }}{{12}}} right)$ $ = frac{1}{{2sin frac{pi }{{12}}}}left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$ Vậy $w = frac{{{z_1}}}{{{z_2} - 2}}$ có môđun và acgumen là $left{ begin{array}{l} r = frac{1}{{2sin frac{pi }{{12}}}} varphi = frac{pi }{4} end{array} right.$ c. Ta có ${z_2} - 2$ $ = 4sin frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{7pi }}{{12}} + isin frac{{7pi }}{{12}}} right)$ (theo câu b) và: ${z_1} - 2 = - sqrt 3 + i - 2$ $ = 2left( { - 1 - frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)$ $ = 2left( { - 1 - cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right)$ $ = 2left( { - 2{{cos }^2}frac{pi }{{12}} + 2isin frac{pi }{{12}}.cos frac{pi }{{12}}} right)$ $ = 4cos frac{pi }{{12}}left( { - cos frac{pi }{{12}} + isin frac{pi }{{12}}} right)$ $ = 4cos frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{11pi }}{{12}} + isin frac{{11pi }}{{12}}} right).$ Suy ra: $w = left( {{z_1} - 2} right)left( {{z_2} - 2} right)$ $ = 4cos frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{11pi }}{{12}} + isin frac{{11pi }}{{12}}} right)$.$4sin frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{7pi }}{{12}} + isin frac{{7pi }}{{12}}} right)$ $ = 16.sin frac{pi }{{12}}.cos frac{pi }{{12}}$$left[ {cos left( {frac{{11pi }}{{12}} + frac{{7pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{11pi }}{{12}} + frac{{7pi }}{{12}}} right)} right]$ $ = 8.sin frac{pi }{6}.left( {cos frac{{18pi }}{{12}} + isin frac{{18pi }}{{12}}} right)$ $ = 8sin frac{pi }{6}left( {cos frac{{3pi }}{2} + isin frac{{3pi }}{2}} right)$ $ = 4cos frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{3pi }}{2} + isin frac{{3pi }}{2}} right).$ Vậy $w = left( {{z_1} - 2} right)left( {{z_2} - 2} right)$ có môđun và một acgumen là: $left{ begin{array}{l} r = 4 varphi = frac{{3pi }}{2} end{array} right.$ Cách khác: Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng công thức Vi-et: ${z_1} + {z_2} = 2i, {z_1}{z_2} = - 4.$ Ta có: $w = left( {{z_1} - 2} right)left( {{z_2} - 2} right)$ $ = {z_1}.{z_2} - 2left( {{z_1} + {z_2}} right) + 4$ $ = - 4 - 2.2i + 4 = - 4i$ $ = 4left( {0 - i} right)$ $ = 4left( {cos frac{{3pi }}{2} + isin frac{{3pi }}{2}} right).$ d. $w = overline {{z_1}} .left( {2 - overline {{z_2}} } right)$ $ Rightarrow overline w = overline {overline {{z_1}} .left( {2 - overline {{z_2}} } right)} $ $ = {z_1}.left( {2 - {z_2}} right) = - {z_1}.left( {{z_2} - 2} right)$ Với $ - {z_1} = - 2left( {cos frac{{5pi }}{6} + isin frac{{5pi }}{6}} right)$ $ = 2left( { - cos frac{{5pi }}{6} - isin frac{{5pi }}{6}} right)$ $ = 2left[ {cos left( {frac{{5pi }}{6} - pi } right) + isin left( {frac{{5pi }}{6} - pi } right)} right]$ $ = 2left[ {cos left( { - frac{pi }{6}} right) + isin left( { - frac{pi }{6}} right)} right]$ và ${z_2} - 2$ $ = 4sin frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{7pi }}{{12}} + isin frac{{7pi }}{{12}}} right).$ Suy ra: $overline w = - {z_1}.left( {{z_2} - 2} right)$ $ = 2left[ {cos left( { - frac{pi }{6}} right) + isin left( { - frac{pi }{6}} right)} right]$.$4sin frac{pi }{{12}}left( {cos frac{{7pi }}{{12}} + isin frac{{7pi }}{{12}}} right)$ $ = 8sin frac{pi }{{12}}$.$left[ {cos left( { - frac{pi }{6} + frac{{7pi }}{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{6} + frac{{7pi }}{{12}}} right)} right]$ $ = 8sin frac{pi }{{12}}.left( {cos frac{{5pi }}{{12}} + isin frac{{5pi }}{{12}}} right)$ $ Rightarrow w = 8sin frac{pi }{{12}}$.$left( {cos frac{{5pi }}{{12}} - isin frac{{5pi }}{{12}}} right)$ $ = 8sin frac{pi }{{12}}$.$left[ {cos left( { - frac{{5pi }}{{12}}} right) + isin left( { - frac{{5pi }}{{12}}} right)} right].$ Vậy $w = overline {{z_1}} .left( {2 - overline {{z_2}} } right)$ có môđun và acgumen là: $left{ begin{array}{l} r = 8sin frac{pi }{{12}} varphi = - frac{{5pi }}{{12}} end{array} right.$ [ads] Ví dụ 6. Tìm môđun và một acgumen của số phức $z$ thỏa mãn phương trình: $frac{{1 + {z^2}}}{{1 - {z^2}}} = i$.

Ta có: $frac{{1 + {z^2}}}{{1 - {z^2}}} = i$ $ Leftrightarrow 1 + {z^2} = i - i{z^2}$ $ Leftrightarrow left( {1 + i} right){z^2} = - 1 + i$ $ Leftrightarrow {z^2} = frac{{ - 1 + i}}{{1 + i}}.$ ${z^2} = frac{{ - left( {1 - i} right)left( {1 - i} right)}}{{left( {1 + i} right)left( {1 - i} right)}}$ $ = frac{{ - left( {1 + {i^2} - 2i} right)}}{{1 + 1}} = i$ $ = cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}.$ $ Rightarrow left| z right| = 1$. Đặt $z = cos varphi + isin varphi $ $ Rightarrow {z^2} = cos 2varphi + isin 2varphi .$ Ta có: ${z^2} = cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}$ $ Leftrightarrow cos 2varphi + isin 2varphi $ $ = cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}$ $ Leftrightarrow 2varphi = frac{pi }{2} + k2pi $ $ Leftrightarrow varphi = frac{pi }{4} + kpi .$ Chọn $k = 0, 1$ ta được ${varphi _1} = frac{pi }{4}, {varphi _2} = frac{{5pi }}{4}.$ Vậy có $2$ số phức $z$ thỏa mãn: $frac{{1 + {z^2}}}{{1 - {z^2}}} = i$ là: ${z_1}$ có môđun $r = 1$, một acgumen là ${varphi _1} = frac{pi }{4}$ và ${z_2}$ có môđun $r = 1$, một acgumen là $varphi = frac{{5pi }}{4}$.

Ví dụ 7. Trong các acgumen của số phức ${left( {1 - sqrt 3 i} right)^8}$, tìm acgumen có số đo dương nhỏ nhất.

Ta có: $1 - sqrt 3 i = 2left( {frac{1}{2} - frac{{sqrt 3 }}{2}i} right)$ $ = 2left( {cos frac{{ - pi }}{6} + isin frac{{ - pi }}{3}} right).$ Theo công thức Moivre ta có: $z = {2^8}left( {cos frac{{ - 8pi }}{3} + isin frac{{ - 8pi }}{3}} right)$. Từ đó suy ra $z$ có các họ acgumen là: $ - frac{{8pi }}{3} + 2kpi , k in R$. Ta thấy với $k = 2$ thì acgumen dương nhỏ nhất của $z$ là $frac{{4pi }}{3}.$

Ví dụ 8. Tìm acgumen âm lớn nhất của số phức $z = {left( {1 + isqrt 3 } right)^{10}}.$

$z = {left( {1 + isqrt 3 } right)^{10}}$ $ = {2^{10}}{left( {frac{1}{2} + ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)^{10}}$ $ = {2^{10}}{left( {cosfrac{pi }{3} + i.sin frac{pi }{3}} right)^{10}}.$ Áp dụng công thức Moivre, ta có: $z = {2^{10}}left( {cosfrac{{10pi }}{3} + i.sin frac{{10pi }}{3}} right)$ $ = {2^{10}}left( {cosfrac{{4pi }}{3} + i.sin frac{{4pi }}{3}} right).$ Các acgumen của $z$ đều có dạng $frac{{4pi }}{3} + k2pi left( {k in Z} right)$. Ta có $frac{{4pi }}{3} + k2pi < 0 Leftrightarrow k < - frac{2}{3}$ hay $k in left{ {…, - 4, - 3, - 2, - 1} right}.$ Acgumen âm lớn nhất của $z$ tương ứng với $k = - 1.$ Vậy acgumen cần tìm của $z$ là $ - frac{{2pi }}{3}.$

Ví dụ 9. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức ${left( {z + i} right)^4} + 1 = isqrt 3 .$

Ta có: ${left( {z + i} right)^4}$ $ = - 1 + isqrt 3 Leftrightarrow {left( {z + i} right)^4}$ $ = 2left( {cos frac{{2pi }}{3} + isin frac{{2pi }}{3}} right)$ $left( 1 right).$ Giả sử $z + i = rleft( {cos varphi + isin varphi } right)$, $r in {R^ + }$ $ Rightarrow {left( {z + i} right)^4}$ $ = {r^4}left( {cos 4varphi + isin 4varphi } right)$ $left( 2 right).$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left{ begin{array}{l} {r^4} = 2 cos 4varphi = cos frac{{2pi }}{3} sin 4varphi = sin frac{{2pi }}{3} end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} r = sqrt[4]{2} varphi = frac{pi }{6} + frac{{kpi }}{2} left( {k in Z} right) end{array} right.$ Cho $k = 0, pm 1, - 2$ ta nhận được các giá trị acgumen tương ứng của số phức $z + i$ là ${varphi _1} = frac{pi }{6}$, ${varphi _2} = frac{{2pi }}{3}$, ${varphi _3} = - frac{pi }{3}$, ${varphi _4} = - frac{{5pi }}{6}.$ Từ đó phương trình đã cho có $4$ nghiệm lần lượt là: $z + i = sqrt[4]{2}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right)$ hay $z = frac{{sqrt[4]{{18}}}}{2} + left( {frac{{sqrt[4]{2}}}{2} - 1} right)i.$ $z + i = sqrt[4]{2}left( {cos frac{{2pi }}{3} + isin frac{{2pi }}{3}} right)$ hay $z = - frac{{sqrt[4]{2}}}{2} + left( {frac{{sqrt[4]{{18}}}}{2} - 1} right)i.$ $z + i$ $ = sqrt[4]{2}left( {cos left( { - frac{pi }{3}} right) + isin left( { - frac{pi }{3}} right)} right)$ hay $z = frac{{sqrt[4]{2}}}{2} - left( {frac{{sqrt[4]{{18}}}}{2} + 1} right)i.$ $z + i$ $ = sqrt[4]{2}left( {cos left( { - frac{{5pi }}{6}} right) + isin left( { - frac{{5pi }}{6}} right)} right)$ hay $z = - frac{{sqrt[4]{{18}}}}{2} - left( {frac{{sqrt[4]{2}}}{2} + 1} right)i.$ Nhận xét: Dạng lượng giác luôn phát huy được ưu thế của mình khi xử lí các biểu thức lũy thừa bậc cao của số phức.

Ví dụ 10. Gọi ${z_1}, {z_2}$ là nghiệm của phương trình ${z^2} - left( {2{mathop{rm co}nolimits} sfrac{{5pi }}{{21}}} right)z + 1 = 0$. Tìm số $n$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho ${z_1}^n + {z_2}^n = 1.$

Đặt ${z^2} - left( {2{mathop{rm co}nolimits} sfrac{{5pi }}{{21}}} right)z + 1 = 0$ $(1)$. Biệt thức của $(1)$ là: $Delta’ = {mathop{rm co}nolimits} {s^2}frac{{5pi }}{{21}} - 1$ $ = - {sin ^2}frac{{5pi }}{{21}} = {left( {i{{sin }^2}frac{{5pi }}{{21}}} right)^2}.$ Vậy $(1)$ có các nghiệm là ${z_1} = {mathop{rm co}nolimits} sfrac{{5pi }}{{21}} - isin frac{{5pi }}{{21}}$ và ${z_2} = {mathop{rm co}nolimits} sfrac{{5pi }}{{21}} + isin frac{{5pi }}{{21}}.$ ${z_1}^n + {z_2}^n = 1$ $ Leftrightarrow {left( {{mathop{rm co}nolimits} sfrac{{5pi }}{{21}} - isin frac{{5pi }}{{21}}} right)^n}$ $ + {left( {{mathop{rm co}nolimits} sfrac{{5pi }}{{21}} + isin frac{{5pi }}{{21}}} right)^n} = 1$ $ Leftrightarrow {left[ {{mathop{rm co}nolimits} sleft( { - frac{{5pi }}{{21}}} right) + isin left( {frac{{5pi }}{{21}}} right)} right]^n}$ $ + {left( {{mathop{rm co}nolimits} sfrac{{5pi }}{{21}} + isin frac{{5pi }}{{21}}} right)^n} = 1$ $ Leftrightarrow {mathop{rm co}nolimits} sleft( { - frac{{n5pi }}{{21}}} right) - isin left( { - frac{{n5pi }}{{21}}} right)$ $ + {mathop{rm co}nolimits} sfrac{{n5pi }}{{21}} + isin frac{{n5pi }}{{21}} = 1$ $ Leftrightarrow cosleft( { - frac{{n5pi }}{{21}}} right) + {mathop{rm co}nolimits} sfrac{{n5pi }}{{21}} = 1$ $ Leftrightarrow 2{mathop{rm co}nolimits} sfrac{{n5pi }}{{21}} = 1$ $ Leftrightarrow {mathop{rm co}nolimits} sfrac{{n5pi }}{{21}} = {mathop{rm co}nolimits} sfrac{pi }{3}$ $ Leftrightarrow frac{{n5pi }}{{21}} = pm frac{pi }{3} + k2pi $ $ Leftrightarrow n = pm frac{7}{5} + frac{{42k}}{5} left( {k in Z} right) left( * right).$ Vì $n$ là số nguyên nhỏ nhất nên từ $(*)$ suy ra: $n = 7.$

Ví dụ 11. Cho số phức $z$ thỏa mãn $z + sqrt 2 i$ có một acgument bằng một acgument của $z + sqrt 2 $ cộng với $frac{pi }{4}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = left| {z + 1} right| + left| {z + i} right|.$

Đặt $z = a + bileft( {a,b in R} right)$. Khi đó $z + sqrt 2 i$ có một acgument bằng acgument của $z + sqrt 2 $ cộng với $frac{pi }{4}$ nên $frac{{z + sqrt 2 i}}{{z + sqrt 2 }} = rleft( {cosfrac{pi }{4} + i.sin frac{pi }{4}} right)$ với $r > 0.$ $frac{{z + sqrt 2 i}}{{z + sqrt 2 }} = frac{{a + left( {b + sqrt 2 } right)i}}{{a + sqrt 2 + bi}}$ $ = frac{{aleft( {a + sqrt 2 } right) + bleft( {b + sqrt 2 } right)}}{{{{left( {a + sqrt 2 } right)}^2} + {b^2}}}$ $ + frac{{left( {a + sqrt 2 } right)left( {b + sqrt 2 } right) - ab}}{{{{left( {a + sqrt 2 } right)}^2} + {b^2}}} - i.$ Suy ra $frac{{aleft( {a + sqrt 2 } right) + bleft( {b + sqrt 2 } right)}}{{{{left( {a + sqrt 2 } right)}^2} + {b^2}}}$ $ = frac{{left( {a + sqrt 2 } right)left( {b + sqrt 2 } right) - ab}}{{{{left( {a + sqrt 2 } right)}^2} + {b^2}}} - i > 0$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = 2 {left( {a + 2} right)^2} + {b^2} ne 0 a + b + sqrt 2 > 0 end{array} right. left( * right).$ Ta có: $T = left| {z + 1} right| + left| {z + i} right|$ $ = left| {a + 1 + bi} right| + left| {a + left( {b + 1} right)i} right|$ $ = sqrt {{{left( {a + 1} right)}^2} + {b^2}} + sqrt {{a^2} + {{left( {b + 1} right)}^2}} $ $ = sqrt {3 + 2a} + sqrt {3 + 2b} $ do $(*).$ Áp dụng bất đẳng thức Cosi,ta được: ${T^2} le 2left( {6 + 2a + 2b} right)$ $ le 2left( {6 + 2sqrt {{a^2} + {b^2}} } right) = 20.$ Suy ra $T le 2sqrt 5$, đẳng thức xảy ra khi $a = b = 1.$ Vậy, giá trị lớn nhất của $T$ là: $2sqrt 5$, đạt khi $z = 1 + i.$