Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước.

Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước (cách giải + bài tập)

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

1. Phương pháp giải

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0. Xác định góc α giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định các vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 và d2.

Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là n→1=a1;b1.

Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là n→2=a2;b2.

Bước 2. Xác định góc α giữa hai đường thẳng d1 và d2:

cosα=cosn→1,n→2=n→1⋅n→2n→1.n→2=a1a2+b1b2a12+b12⋅a22+b22.

Chú ý:

• d1 ⊥ d2 khi và chỉ khi n→1⊥n→2 tức là a1a2 + b1b2 = 0.

• Nếu d1, d2 có các vectơ chỉ phương u→1,u→2 thì góc α giữa d1, d2 cũng được xác định thông qua công thức cosα=cosu→1,u→2

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng Δ: x−3y+2=0 và Δ’: x+3y−1=0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng Δ có vectơ pháp tuyến n→11;−3, đường thẳng Δ’ có vectơ pháp tuyến n→21;3.

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng Δ, Δ’. Khi đó:

cosα=cosn→1,n→2=n→1⋅n→2n→1.n→2=1⋅1+−3⋅312+−32⋅12+32=12.

Do đó α = 60°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng Δ và Δ’ là 60°.

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d1: x=1+5ty=−2tvà d2: x=−1+7ty=3t. Tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u→15;−2

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u→27;3

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

cosα=cosu→1,u→2=u→1.u→2u→1⋅u→2=5⋅7+−2⋅352+−22⋅72+32=29292=12.

Do đó α = 45°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 45°.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng d1: 2x - y - 10 = 0 và d2: x - 3y + 9 = 0 bằng

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 135°.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1: x=3+2ty=1+23t và d2: x=−1y=t bằng

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1: 6x - 5y + 15 = 0 và d2: x=10−6ty=1+5t bằng

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1: x + 2y - 7 = 0 và d2: x=−1+2ty=3+t. Cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 và d2 là

A. −35

B. 25

C. 35

D. 35

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1: x + 2y - 2 = 0 và d2: x - y = 0. Cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho là

A. 1010

B. 23

C. 33

D. 3

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc giữa hai đường thẳng Δ1: x - 2y + 15 = 0 và Δ2: x=2−ty=4+2t bằng

A. 5°;

B. 60°;

C. 0°;

D. 90°.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x + 4y + 1 = 0 và d2:x=15+12ty=1+5t .Cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho là

A. 5565

B. −3365

C. 665

D. 3365

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1: 10x + 5y - 1 = 0 và d2: x=2+ty=1−t. Cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho là

A. 31010

B. 35

C. 1010

D. 310

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d1: (3 + m)x - (m - 1)y = 0 tạo với đường thẳng d2: (m - 2)x + (m + 1)y - 20 = 0 một góc 90°. Giá trị của m là

A. m = 5;

B. m = -5;

C. m = 6;

D. m = 4.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d1: 2mx + (m - 3)y - 1 = 0 tạo với đường thẳng d2: (m - 1)x + (-2m + 2)y - 2 = 0 (với m ≠ 1) một góc 45°. Giá trị m nào sau đây là một trong những giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài?

A. m=95;

B. m = 1;

C. m = 5;

D. m = 0.

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

• Một số bài toán liên quan đến diện tích

• Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc

• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều