Lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn| Toán 9 chương trình mới

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: ax + by = c (1). Trong đó a, b và c là các số đã biết (a 0 hoặc b 0)

- Nếu tại x = xo và y = yo ta có axo + byo = c là một khẳng định đúng thì cặp số (xo;yo) được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

- Mỗi nghiệm (xo;yo) của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (xo;yo) trên mặt phẳng Oxy.

- Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tất cả các nghiệm của phương trình đó được biểu diễn bởi một đường thẳng.

- Mỗi nghiệm của phương trình ax + 0y = c (a 0) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (c/a;yo) (yo ) nằm trên đường thẳng d1: x = c/a. Đường thẳng d1 là đường thẳng đi qua điểm c/a trên trục Ox và vuông góc với trục Ox.

- Mỗi nghiệm của phương trình 0x + by = c (b 0) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (xo;c/b) (xo ) nằm trên đường thẳng d2: y = c/b. Đường thẳng d2 là đường thẳng đi qua điểm c/b trên trục Oy và vuông góc với trục Oy.

- Mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c (a 0; b 0) được biểu diễn bởi điểm nằm trên đường thẳng d3: y = -a/bx + c/b. Đường thẳng d3 là dồ thị của hàm số y = -a/bx + c/b.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Một cặp gồm hai phương tình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c' được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:

- Mỗi cặp số (xo; yo) được gọi là một nghiệm của hệ (*) nếu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ (*).

3. Bài tập phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn toán 9

3.1 Bài tập sách toán 9 kết nối tri thức

Bài 1.1 trang 10 toán 9/1 kết nối tri thức

a) Phương trình 5x - 8y = 0 có dạng ax + by = c với a = 5 ≠ 0, b = -8 ≠ 0.

Do đó, phương trình 5x - 8y = 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Phương trình 4x + 0y = -2 có dạng ax + by = c với a = 4 ≠ 0.

Do đó, phương trình 4x + 0y = -2 là phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) Phương trình 0x + 0y = 1 có dạng ax + by = c với a = 0, b = 0.

Do đó, phương trình 0x + 0y = 1 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) Phương trình 0x - 3y = 9 có dạng ax + by = c với b = -3 ≠ 0.

Do đó, phương trình 0x - 3y = 9 là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 1.2 trang 10 toán 9/1 kết nối tri thức

a)

• Với x = -1, ta có y = 2 . (-1) - 1 = - 2 - 1 = -3;

• Với x = -0,5, ta có y = 2 . (-0,5) - 1 = - 1 - 1 = -2;

• Với x = 0, ta có y = 2 . 0 - 1 = 0 - 1 = -1;

• Với x = 0,5, ta có y = 2 . 0,5 - 1 = 1 - 1 = 0;

• Với x = 1, ta có y = 2 . 1 - 1 = 2 - 1 = 1;

• Với x = 2, ta có y = 2 . 2 - 1 = 4 - 1 = 3.

Vậy ta có bảng sau:

x

-1

-0.5

0

0.5

1

2

y = 2x - 1

-3

-2

-1

0

1

3

Vậy 6 nghiệm của phương trình đã cho là (-1; -3), (-0,5; -2), (0; -1), (0,5; 1), (1; 1), (2; 3).

b) Ta có y = 2x - 1. Với mỗi giá trị x tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị y tương ứng.

Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Bài 1.3 trang 10 toán 9/1 kết nối tri thức

a) Xét phương trình 2x - y = 3. (1)

Ta viết (1) dưới dạng y = 2x - 3. Mỗi cặp số (x; 2x - 3) với x ∈ ℝ tùy ý, là một nghiệm của (1).

Khi đó, ta nói phương trình (1) có nghiệm (tổng quát) là: (x; 2x - 3) với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng y = 2x - 3.

Ta xác định được hai điểm tùy ý của đường thẳng y = 2x - 3, chẳng hạn A(0; - 3), B(1; -1).

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:

​​​​​​b) Xét phương trình 0x + 2y = -4 . (2)

Ta viết gọn (2) thành y = -2. Phương trình (2) có nghiệm (x; -2) với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm M(0; -2). Ta gọi đó là đường thẳng y = -2.

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:

c) Xét phương trình 3x + 0y = 5. (3)

Ta viết gọn (2) thành x = 5/3. Phương trình (2) có nghiệm (5/3; y)với y ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm (5/3; 0). Ta gọi đó là đường thẳng x = 5/3.

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:

Bài 1.4 trang 10 toán 9/1 kết nối tri thức

a) Hệ phương trình đã cho là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả hai phương trình của hệ đã cho đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay x = -3; y = 4 vào hệ phương trình đã cho, ta có:

• 2x = 2 . (−3) = −6 nên (-3; 4) là nghiệm của phương trình thứ nhất;

• 5x + 4y = 5 . (−3) + 4 . 4 = −15 + 16 = 1 nên (-3; 4) là nghiệm của phương trình thứ hai.

Do đó (-3; 4) là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (-3; 4) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Khóa học trực tuyến ôn thi vào 10 mới nhất của nhà trường VUIHOC giúp các em vững bước vào 10. Đăng ký ngay để nhận tài liệu ôn thi được biên soạn bởi thầy cô đến từ trường chuyên TOP 5 toàn quốc.

Bài 1.5 trang 10 toán 9/1 kết nối tri thức

a)

• Thay x = -2; y = 1 vào phương trình (1), ta có:

5x + 4y = 5 . (-2) + 4 . 1 = −10 + 4 = −6 ≠ 8 nên (-2; 1) không phải là nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 0; y = 2 vào phương trình (1), ta có:

5x + 4y = 5 . 0 + 4 . 2 = 0 + 8 = 8 nên (0; 2) là nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 1; y = 0 vào phương trình (1), ta có:

5x + 4y = 5 . 1 + 4 . 0 = 5 + 0 = 5 ≠ 8 nên (1; 0) không phải là nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 1,5; y = 3 vào phương trình (1), ta có:

5x + 4y = 5 . 1,5 + 4 . 3 = 7,5 + 12 = 19,5 ≠ 8 nên (1,5; 3) không phải là nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 4; y = -3 vào phương trình (1), ta có:

5x + 4y = 5 . 4 + 4 . (-3) = 20 - 12 = 8 nên (4; -3) là nghiệm của phương trình (1).

Vậy cặp số là nghiệm của phương trình (1) là (0; 2) và (4; -3).

b) Để cặp số là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và phương trình (2) thì cặp số đó phải là nghiệm của phương trình (1). Khi đó, ta có:

• Thay x = 0; y = 2 vào phương trình (2), ta có:

3x + 5y = 3 . 0 + 5 . 2 = 0 + 10 = 10 ≠ -3 nên (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình (2).

• Thay x = 4; y = -3 vào phương trình (2), ta có:

3x + 5y = 3 . 4 + 5 . (-3) = 12 - 15 = -3 nên (4; -3) là nghiệm của phương trình (2).

Ta thấy nghiệm chung của phương trình (1) và phương trình (2) là cặp số (4; -3).

Do đó, cặp số (4; -3) là nghiệm của hệ gồm phương trình (1) và phương trình (2).

c) Đường thẳng 5x + 4y = 8 đi qua điểm A(0; 2) và B(4; -3).

Đường thẳng 3x + 5y = -3 đi qua điểm B(4; -3) và C(-1; 0).

Hai đường thẳng 5x + 4y = 8 và 3x + 5y = -3 cắt nhau tại B(4; -3), tức là (4; -3) là nghiệm của hệ (1) và (2).

3.2 Bài tập sách toán 9 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 14 SGK Toán 9/1 chân trời sáng tạo

a) 2x + 5y = -7 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2, b = 5, c = -7.

b) 0x - 0y = 5 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì a = 0 và b = 0.

c) là phương trình bậc nhất hai ẩn với a=0, b=−5/4, c = 3.

d) 0,2x + 0y = -1,5 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0,2; b = 0; c = -1,5.

Bài 2 trang 14 SGK Toán 9/1 chân trời sáng tạo

a) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 . 1 + 3 . 1 = 4 + 3 = 7.

Cặp số (-2; 5) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 . (-2) + 3 . 5 = -8 + 15 = 7.

Cặp số (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 . 0 + 3 . 2 = 6 ≠ 7.

Vậy trong các cặp số đã cho thì có hai cặp số (1; 1) và (-2; 5) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7.

a) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 3x - 4y = -1 vì 3 . 1 - 4 . 1 = 3 - 4 = -1.

Cặp số (-2; 5) không phải là nghiệm của phương trình 3x - 4y = -1 vì 3 . (-2) - 4 . 5 = 6 - 20 = -26 ≠ -1.

Cặp số (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình 3x - 4y = -1 vì 3 . 0 - 4 . 2 = 0 - 8 = -8 ≠ -1.

Vậy trong các cặp số đã cho thì có cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 3x - 4y = -1.

Bài 3 trang 14 SGK Toán 9/1 chân trời sáng tạo

a) Viết lại phương trình thành y = -2x + 3.

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = -2x + 3 (như hình vẽ).

b) Viết lại phương trình thành y = -3.

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d vuông góc với Oy tại điểm M(0; -3).

c) Viết lại phương trình thành x = −2/3

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d vuông góc với Ox tại điểm N(−2/3; 0).

d) Viết lại phương trình thành y = 2x.

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 2x

Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và điểm A(1; 0) (như hình vẽ).

Bài 4 trang 14 SGK Toán 9/1 chân trời sáng tạo

a) Cặp số (2; 2) không phải là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì:

b) Cặp số (1; 2) là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì:

c) Cặp số (-1; -2) không phải là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì:

Lộ trình khóa học DUO dành riêng cho cấp THCS sẽ được thiết kế riêng cho từng em học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước tăng 3 - 6 điểm trong bài thi của mình.

Bài 5 trang 14 SGK Toán 9/1 chân trời sáng tạo

a) Đường thẳng đi qua điểm M(0; 2) và điểm N(2; 1).

Đường thẳng y = -2x - 1 đi qua điểm P(0; -1) và điểm Q(-1; 1).

Ta vẽ hai đường thẳng đó trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy như sau:

b) Giao điểm A của hai đường thẳng và y = -2x - 1 được biểu diễn như sau:

Dóng điểm A lên hai trục Ox và Oy, ta có A(-2; 3).

Vậy tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng và y = -2x - 1 là A(-2; 3).

c) Cặp số (-2; 3) là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì

Do đó, tọa độ của điểm A có là nghiệm của hệ phương trình:

3.3 Bài tập sách toán 9 cánh diều

Bài 1 trang 18 SGK Toán 9/1 cánh diều

a) ⦁ Thay x = 8 và y = 1 vào vế trái của phương trình x - 2y = 6, ta có:

8 - 2.1 = 8 - 2 = 6.

Do đó cặp số (8; 1) là nghiệm của phương trình x - 2y = 6.

⦁ Thay x = -3 và y = 6 vào vế trái của phương trình x - 2y = 6, ta có:

-3 - 2.6 = -3 - 12 = -15 ≠ 6.

Do đó cặp số (-3; 6) không là nghiệm của phương trình x - 2y = 6.

⦁ Thay x = 4 và y = -1 vào vế trái của phương trình x - 2y = 6, ta có:

4 - 2.(-1) = 4 + 2 = 6.

Do đó cặp số (4; -1) là nghiệm của phương trình x - 2y = 6.

⦁ Thay x = 0 và y =2 vào vế trái của phương trình x - 2y = 6, ta có:

0 - 2.2 = 0 + 4 = 4 ≠ 6.

Do đó cặp số (0; 2) không là nghiệm của phương trình x - 2y = 6.

Vậy các cặp số (8; 1) và (4; -1) là nghiệm của phương trình x - 2y = 6.

b) ⦁ Thay x = 8 và y = 1 vào vế trái của phương trình x + y = 3, ta có:

8 + 1 = 9 ≠ 3.

Do đó cặp số (8; 1) không là nghiệm của phương trình x + y = 3.

⦁ Thay x = -3 và y = 6 vào vế trái của phương trình x + y = 3, ta có:

-3 + 6 = 3.

Do đó cặp số (-3; 6) là nghiệm của phương trình x + y = 3.

⦁ Thay x = 4 và y = -1 vào vế trái của phương trình x + y = 3, ta có:

4 + (-1) = 3.

Do đó cặp số (4; -1) là nghiệm của phương trình x + y = 3.

⦁ Thay x = 0 và y =2 vào vế trái của phương trình x + y = 3, ta có:

0 + 2 = 2 ≠ 3.

Do đó cặp số (0; 2) không là nghiệm của phương trình x + y = 3.

Vậy các cặp số (-3; 6) và (4; -1) là nghiệm của phương trình x + y = 3.

Bài 2 trang 18 SGK Toán 9/1 cánh diều

a) Thay x = 3 và y = -1 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

3 + 2.(-1) = 1;

3.3 - 2.(-1) = 11 ≠ 3.

Do đó, cặp số (3; -1) không là nghiệm của phương trình thứ hai trong hệ.

Vậy cặp số (3; -1) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

b) Thay x = 1 và y = 0 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

1 + 2.0 = 1;

3.1 - 2.0 = 3.

Do đó, cặp số (1; 0) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (1; 0) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 3 trang 18 SGK Toán 9/1 cánh diều

Lượng đường trong x chiếc bánh nướng là 60x (g).

Lượng đường trong y chiếc bánh dẻo là 50y (g).

Khi đó, lượng đường trong x chiếc bánh nướng và y chiếc bánh dẻo là 60x + 50y (g).

Theo bài, lượng đường để sản xuất bánh là 500 kg = 500 000 g, nên ta có phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị lượng đường để sản xuất hai loại bánh là:

60x + 50y = 500 000 hay 6x + 5y = 50 000.

Ba nghiệm của phương trình trên là: (5 000; 4 000), (6 000; 2 800), (8 000; 400).

Bài 4 trang 18 SGK Toán 9/1 cánh diều

a) Do mỗi bạn mua 1 chiếc sticker nên năm bạn đã mua tất cả 5 chiếc sticker, do đó ta có phương trình: x + y = 5. (1)

Số tiền các bạn phải trả khi mua x chiếc sticker loại I là: 2x (nghìn đồng).

Số tiền các bạn phải trả khi mua y chiếc sticker loại II là: 3y (nghìn đồng).

Số tiền các bạn phải trả khi mua các sticker trên là 2x + 3y (nghìn đồng).

Theo bài, tổng số tiền năm bạn phải trả là 12 nghìn đồng nên ta có phương trình: 2x + 3y = 12. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng:

b) Thay x = 3 và y = 2 vào mỗi phương trình trong hệ: ta có:

3 + 2 = 5;

2.3 + 3.2 = 12.

Do đó, cặp số (3; 2) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (3; 2) là nghiệm của hệ phương trình ở câu a.

Bài 5 trang 18 SGK Toán 9/1 cánh diều

a) Bác Ngọc đã mua 3,5 kg hai loại thực phẩm (thịt lợn và cá chép) nên ta có phương trình: x + y = 3,5. (1)

Số tiền bác Ngọc đã chi để mua x kilôgam thịt lợn là 130x (nghìn đồng).

Số tiền bác Ngọc đã chi để mua y kilôgam cá chép là 50y (nghìn đồng).

Theo bài, bác Ngọc đã chi 295 nghìn để mua hai loại thực phẩm trên nên ta có phương trình: 130x + 50y = 295. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng:

b) Thay x = 1,5 và y = 2 vào mỗi phương trình trong hệ ta có:

1,5 + 2 = 3,5;

130.1,5 + 50.2 = 195 + 100 = 295.

Do đó, cặp số (1,5; 2) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (1,5; 2) là nghiệm của hệ phương trình ở câu a.

Bài 6 trang 18 SGK Toán 9/1 cánh diều

a) Lượng sơn xanh để sơn sản phẩm loại A là: 0,6x (kg).

Lượng sơn xanh để sơn sản phẩm loại B là: 0,5y (kg).

Theo bài, người ta dự định sử dụng 85 kg sơn xanh nên ta có phương trình:

0,6x + 0,5y = 85. (1).

Lượng sơn vàng để sơn sản phẩm loại A là: 0,3x (kg).

Lượng sơn vàng để sơn sản phẩm loại B là: 0,4y (kg).

Theo bài, người ta dự định sử dụng 50 kg sơn vàng nên ta có phương trình:

0,3x + 0,4y = 50. (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng:

b) Thay x = 100 và y = 50 vào mỗi phương trình trong hệ , ta có:

0,6 . 100 + 0,5 . 50 = 60 + 25 = 85;

0,3 . 100 + 0,4 . 50 = 30 + 20 = 50.

Do đó, cặp số (100; 50) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (100; 50) là nghiệm của hệ phương trình ở câu a.

Trên đây là bài học phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!