Hàm số lũy thừa lớp 12: Công thức, lý thuyết và bài tập

Hàm số lũy thừa là phần khó và quan trọng trong chương trình Toán học THPT, để đạt điểm cao học sinh cần nắm vững các công thức lũy thừa và luyện tập các dạng bài tập lũy thừa lớp 12 thường xuyên. Trong bài viết dưới đây, BTEC FPT sẽ cung cấp kiến thức và chia sẻ kinh nghiệm làm bài tập hàm số lũy thừa cho các bạn học sinh tham khảo.

Hàm số lũy thừa là gì

Hàm số lũy thừa là những hàm số có dạng y = xα (α ∈ R). Tùy thuộc vào α mà mỗi hàm số sẽ có những tập xác định khác nhau:

• Nếu α nguyên dương thì tập xác định là R.
• Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì tập xác định là R∖{0}.
• Nếu α không nguyên thì tập xác định là (0;+∞).

Lý thuyết hàm số lũy thừa lớp 12

Hàm số y= x có đạo hàm tại mọi x (0,+∞) và y’= ( x)’ = x-1.

Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số y = u(x) cũng có đạo hàm trên J là:

y’= [u(x)]-1’ = x-1.(x).u'(x)

• ​Với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số y = xn có tập xác định R và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm hàm số lũy thừa có thể được mở rộng thành:

​∀x∈R, (xn)′ =nxn−1

∀x∈J, [un(x)]′ =nun−1(x).u′(x)

(Nếu u = u(x) có đạo hàm trong khoảng J)

• Với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số y=xn có tập xác định là R{0} và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành:

​∀x∈R, (xn)′ =nxn−1

∀x∈J, [un(x)]′ =nun−1 (x).u′(x)

(Nếu u = u(x) ≠ 0 có đạo hàm trong khoảng J)

• Đạo hàm của căn thức

Hàm số y = n√x có thể được xem như là dạng mở rộng của hàm số lũy thừa y = x1/n (tập xác định của y = nx chứa tập xác định của y = x1/n và trên tập xác định của y = x1/n thì 2 hàm số trùng nhau). Công thức tính đạo hàm căn thức:

y = n√x = x1/n và (x1/n)’ = (1/n)x1/n-1

Công thức này còn đúng cả với x < 0 và hàm số y = nx không có đạo hàm tại x = 0

Khi n chẵn làm y = nx có tập xác định là [0, +∞), không có đạo hàm tại x = 0 và có đạo hàm tại mọi x > 0 tính theo công thức (n√x)’ = (n√x)’ = (1/n)x1/n-1

Tóm lại, ta có (n√x)’ = (n√x)’ = (1/n)x1/n-1 đúng với mọi x làm cho 2 vế có nghĩa

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra:

Nếu u = u(x) là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0, ∀x∈J khi n chẵn u(x) ≠ 0

2. Đồ thị của hàm số lũy thừa

Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; +∝):

• Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1; 1)
• Khi α>0 hàm số luôn đồng biến, khi α < 0 hàm số luôn nghịch biến.
• Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α > 0. Khi α < 0 đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy.

Chú ý: Khi khảo sát hàm số y= xα với α cụ thể thì cần xét hàm số trên toàn bộ tập xác định của nó chứ không phải chỉ xét riêng trên khoảng (0; +∝).

3. Quan hệ của các hàm số lũy thừa

Nếu a > 1 và b > 1, thì hàm số lũy thừa với cơ số a có giá trị lớn hơn hàm số lũy thừa với cơ số b tại cùng một giá trị x.

Trong trường hợp 0 < a < 1 và 0 < b < 1, hàm số lũy thừa với cơ số a có giá trị nhỏ hơn hàm số lũy thừa với cơ số b tại cùng một giá trị x.

Các công thức hàm số lũy thừa lớp 12

Dưới đây là bảng công thức hàm số lũy thừa lớp 12 mà BTEC FPT đã tổng hợp được:

Kinh nghiệm làm bài tập hàm số lũy thừa lớp 12

Trước hết, các bạn học sinh cần nắm chắc lý thuyết hàm số lũy thừa bao gồm khái niệm, đạo hàm và đồ thị của hàm số lũy thừa để có thể áp dụng vào giải bài tập. Để ghi nhớ kiến thức nhanh chóng, hiệu quả các bạn học sinh nên tự xây dựng cho mình sơ đồ tư duy cá nhân cho mỗi bài học.

Các bạn học sinh nên làm nhiều dạng bài tập khác nhau, bao gồm cả bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận có mức độ từ dễ đến khó. Việc luyện tập thường xuyên giúp các bạn làm quen với các dạng câu hỏi và phương pháp giải, từ đó nâng cao kỹ năng và điểm số.

Các bạn học sinh nên chú ý chọn những nguồn tài liệu tham khảo uy tín, bám sát đề thi THPT Quốc Gia. Có rất nhiều nguồn tài liệu uy tín các bạn có thể tham khảo để luyện giải bài tập như sách giáo khoa, sách bài tập và các loại sách tham khảo được xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo, Đại học Quốc Gia Hà Nội,…

Ngoài ra, các bạn học sinh nên học cách tính hàm số lũy thừa bằng máy tính cầm tay để có thể giải quyết các bài tập trắc nghiệm một cách nhanh chóng, tiện lợi và tiết kiệm thời gian.

Hy vọng với những kinh nghiệm mà chúng mình đã chia sẻ trên đây sẽ giúp các bạn học sinh có quá trình học tập và ôn thi hiệu quả. BTEC FPT chúc bạn thành công trên con đường học tập.