Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số lớp 11

Dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, đồ thị hàm số là một chủ đề quen thuộc trong các đề thi THPT. Đây là dạng toán khá dễ lấy điểm nên các bạn học sinh cần phải nắm thật vững kiến thức này để vận dụng hiệu quả trong bài thi. Ngay sau đây, Sforum sẽ hướng dẫn phương pháp giải công thức phương trình tiếp tuyến để các bạn nâng cao kỹ năng của mình nhé.

Ý nghĩa của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ được hiểu là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M(x₀, y₀), trong đó y₀ = f(x₀). Dựa vào điều này, phương trình của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M(x₀, y₀) sẽ có dạng:

Để xác định được phương trình tiếp tuyến, bước quan trọng mà bạn cần làm đó là phải tìm được hoành độ của tiếp điểm x₀.

Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến

Ngay sau đây, Sforum sẽ tổng hợp các dạng bài toán phương trình tiếp tuyến của đường tròn, đồ thị hàm số cơ bản mà bạn thường gặp nhất. Hãy cùng tham khảo để áp dụng linh hoạt vào trong từng dạng bài tập nhé:

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0,y0)

Giả sử, bài toán cho đồ thị (C) : y = f(x) và yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x0,y0). Lúc này, bạn sẽ cần tiến hành giải theo hai bước sau:

• Bước 1: Tính công thức đạo hàm của hàm số y’ = f(x) để tìm hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x₀).
• Bước 2: Xác định phương trình tiếp tuyến tại M(x₀,y₀) với công thức:

Chú ý:

• Nếu đề bài cho sẵn hoành độ tiếp điểm x₀, bạn chỉ cần thay x₀ vào hàm số ban đầu để tìm tung độ y₀, nghĩa là y₀ = f(x₀).
• Nếu đề bài cung cấp tung độ tiếp điểm y₀ thì bạn có thể tìm giá trị x bằng cách thay y₀ vào phương trình của hàm số và giải phương trình f(x₀) = y₀ để tìm x₀.
• Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm nằm giữa đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó, bạn cần tìm các hoành độ của tiếp điểm bằng cách giải phương trình xác định giao điểm giữa (C) và (d).

Để học tốt phần phương trình tiếp tuyến và giải các dạng toán nhanh chóng, bạn hãy đến CellphoneS để chọn ngay một chiếc máy tính chất lượng nhé. Với mức giá hợp lý cùng chế độ bảo hành chính hãng, những sản phẩm máy tính tại CellphoneS sẽ hỗ trợ bạn tối đa việc học hiệu quả. Cùng Sforum tham khảo những chiếc máy tính tốt nhất tại đây nhé:

[Product_Listing categoryid="380" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop.html" title="Danh sách Laptop đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k

Nếu đề bài cung cấp sẵn y = f(x) với đồ thị (C) và yêu cầu bạn tìm phương trình tiếp tuyến Δ với hệ số góc k đã cho. Như vậy, bạn cần áp dụng cách giải theo các bước sau:

Bước 1: Xác định tiếp điểm M(x₀, y₀) trên đồ thị và tính đạo hàm f’(x) của hàm số y = f(x).

Bước 2: Điều kiện để tiếp tuyến có hệ số góc k là f’(x₀) = k. Khi đó, bạn cần giải phương trình này để tìm x₀ và tính y₀ = f(x₀).

Bước 3: Lúc này, phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x₀, y₀) được viết dưới dạng d : y = k (x − x₀) + y₀. Tiếp theo, bạn thay các giá trị k, x₀ và y₀ để lập phương trình cụ thể cho mỗi tiếp tuyến.

Lưu ý:

• Tiếp tuyến d song song với Δ : y = ax + b ⇒ k = a

Sau khi xác định được phương trình tiếp tuyến, bạn cần kiểm tra lại để đảm bảo tiếp tuyến không trùng với đường thẳng Δ. Nếu có sự trùng nhau thì kết quả đó cần phải được loại bỏ.

• Nếu tiếp tuyến d vuông góc với Δ:

• Nếu tiếp tuyến tạo thành một góc α với trục hoành, hệ số góc sẽ được tính bằng k = ± tan(α).

Tổng quát: Tiếp tuyến tạo thành một góc α với đường thẳng Δ : y = ax + b.

Khi đó:

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Đề bài yêu cầu xác định phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với điều kiện tiếp tuyến phải đi qua điểm A(xₐ, yₐ) đã cho. Lúc này, bạn cần áp dụng hai cách giải dưới đây:

Cách 1:

Bước 1: Phương trình của tiếp tuyến đi ngang qua điểm A(xₐ, yₐ) với hệ số góc k được viết dưới dạng d: y = k(x - xₐ) + yₐ.

Bước 2: Đường thẳng d tiếp xúc với (C) nếu hệ phương trình dưới đây có nghiệm:

Bước 3: Giải hệ phương trình đã cho để xác định giá trị của x và k. Sau đó, bạn thay các giá trị này vào phương trình d: y = k(x - xₐ) + yₐ để tìm phương trình tiếp tuyến cần xác định.

Cách 2:

Bước 1: Giả sử tiếp điểm có tọa độ M(x₀, f(x₀)), lúc này bạn xác định hệ số góc của tiếp tuyến k = f′(x₀) dựa vào giá trị của x₀.

Bước 2: Khi đó, phương trình của tiếp tuyến sẽ được viết dưới dạng d : y = f′(x₀) (x − x₀) + f(x₀).

Đồng thời, vì điểm A(xₐ, yₐ) nằm trên đường thẳng d nên ta có: yₐ = f′(x₀) (xₐ − x₀) + f(x₀). Lúc này, bạn cần giải phương trình vừa rồi để xác định giá trị của x₀.

Bước 3: Sau khi tìm được giá trị của x, bạn hãy thay vào phương trình d : y = f′(x₀) (x − x₀) + f(x₀) để tìm được phương trình tiếp tuyến.

Bài tập vận dụng

Sau khi đã tìm hiểu các công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, bạn hãy tiếp tục vận dụng kiến thức mình vừa học để giải thử những bài toán liên quan dưới đây. Mỗi dạng bài tập này sẽ giúp bạn nắm thật vững công thức để đạt điểm số cao hơn nhé:

Bài tập 1

Đề bài: Viết công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2 tại điểm M(2,2).

Lời giải: Ta có y’ = 3x² - 6x => k = y’(2) = 3(2)² - 6(2) = 12 - 2 = 0.

Lúc này, phương trình tiếp tuyến mà bạn cần tìm sẽ có dạng: y - y₀ = k(x - x₀) ⇔ y - 2 = 0(x - 2) => y = 2.

Bài tập 2

Đề bài: Viết công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) : y = x³ - 3x + 2 với hệ số góc là 9.

Lời giải: Ta có y′ = 3x² - 3 và xác định điểm tiếp tuyến M(x₀, y₀)

=> Hệ số góc tiếp tuyến là k= y′ (x₀) = 9, suy ra:

Với x₀ = 2, ta có y₀ = 4, tiếp điểm M1(2;4). Như vậy, phương trình tiếp tuyến tại M1 là:

y = 9(x - 2) + 4 ⇒ y = 9x - 14.

Với x₀ = -2, ta có y₀ = 0, tiếp điểm M2(-2;0). Lúc này, phương trình tiếp tuyến tại M2 là:

y = 9(x + 2) ⇒ y = 9x + 18.

Kết luận: Hai phương trình tiếp tuyến mà ta cần tìm là:

d1 : y = 9x -14 và d2 : y = 9x + 18.

Bài tập 3

Đề bài: Cho y= 3x² - 4x² có đồ thị là (C), hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) và biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1;3).

Lời giải: Ta có đạo hàm y′ = 3 - 8x, đây chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0).

Như vậy, phương trình của tiếp tuyến tại M(x0;y0) sẽ được thể hiện như sau:

Sử dụng điều kiện tiếp tuyến đi qua điểm A(1;3) nên ta sẽ có:

=> x₀ = 0 hoặc x₀ = 2.

Với x₀ = 0 thì ta có: y(0) = 3(0) - 4(0)² = 0 và y′(0) = 3 - 8(0) =3.

Như vậy, phương trình tiếp tuyến tại M(0;0) mà bạn cần tìm là y= 3(x - 0) + 0 = 3x.

Với x₀ = 2 thì ta có: y(2) = 3(2) - 4(2)² = 6 - 16 = -10 và y′(2) = 3 - 8(2) = 3 - 16 = -13.

Lúc đó, phương trình tiếp tuyến tại M(2;-10) cần tìm sẽ là:

y= -13(x - 2) -10= -13x + 26 - 10= -13x + 16.

Kết luận: Hai phương trình tiếp tuyến mà ta cần tìm là: y = 3x và y = -13x + 16.

Như vậy, Sforum đã giúp bạn tìm hiểu cách viết công thức phương trình tiếp tuyến của đường tròn, đồ thị hàm số lớp 11. Hy vọng từ bài viết này, các bạn đã nắm rõ được cách giải các dạng toán liên quan đến phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số để đạt được điểm cao nhất. Đồng thời, bạn cũng đừng quên truy cập Sforum để tham khảo thêm nhiều công thức khác nhé!

• Theo dõi một số bài viết hay tại chuyên mục: Giáo dục; Góc Học & Day 4.0.