Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ lớp 12 (Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ lớp 12 (Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức)

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTT

Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

• Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→=(x;y;z) và b→=(x';y';z') . Ta có:

+) a→+b→=(x+x';y+y';z+z');

+) a→-b→=(x-x';y-y';z-z');

+) a→=(k⁢x;k⁢y;k⁢z) với k là một số thực.

Nhận xét: Vectơ a→=(x;y;z) cùng phương với vectơ b→=(x';y';z')≠0→ khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao chox=k⁢x'y=k⁢y'z=k⁢z.

Ví dụ 1. Cho các vectơ a→=(-2;-3;5), b→=(3;5;-7). Tính a→+b→;a→-b→;3⁢a→.

Hướng dẫn giải

Ta có a→+b→=(-2+3;-3+5;5-7)=(1;2;-2).

a→-b→=(-2-3;-3-5;5+7)=(-5;-8;12).

3a→=(-6;-9;15).

• Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và C(xC; yC; zC). Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là (xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2).

- Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là (xA+xB+xC3;yA+yB+yC3;zA+zB+zC3).

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho DABC có ba đỉnh A(2; 1; −3), B(4; 2; 1), C(3; 0; 5). Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.

Hướng dẫn giải

Vì G là trọng tâm của DABC nên xG=2+4+33=3yG=1+2+03=1zG=-3+1+53=1.

Vậy G(3; 1; 1).

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a→=(x;y;z)và b→=(x';y';z') được xác định bởi công thức: a→.b→=x.x'+y.y'+z.z'.

Nhận xét:

- Hai vectơ a→ và b→ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu xx' + yy' + zz' = 0.

- Nếu a→=(x;y;z) thì |a→|=a→.a→=x2+y2+z2.

- Nếu a→=(x;y;z) và b→=(x';y';z') là hai vectơ khác 0→ thì cos⁡(a→,b→)=a→.b→|a→|.|b→|=x.x'+y.y'+z.z'x2+y2+z2.x'2+y'2+z'2.

Ví dụ 3. Cho a→=(2;3;5) và b→=(7;1;8). Tính góc giữa hai vetơ a→và b→.

Hướng dẫn giải

Ta có a→.b→=2.7+3.1+5.8=57; |a→|=22+32+52=38; |b→|=72+12+82=114.

Có cos⁡(a→,b→)=a→.b→|a→|.|b→|=5738.114=32⇒(a→,b→)=30∘.

Chú ý: Nếu A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) thì

=|A⁢B→|=(xB-xA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)2.

Đặc biệt, khi B trùng O thì ta nhận được công thức OA=xA+yA+zA.

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(−5; −2; 5), B(−3; 4; 9), C(1; 2; 3). Tính diện tích của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Có A⁢B→=(-3+5;4+2;9-5)=(2;6;4)⇒|A⁢B→|=22+62+42=56.

A⁢C→=(1+5;2+2;3-5)=(6;4;-2)⇒|A⁢C→|=62+42+(-2)2=56.

B⁢C→=(1+3;2-4;3-9)=(4;-2;-6)⇒|B⁢C→|=42+(-2)2+(-6)2=56

Nhận thấy AB = AC = BC. Do đó DABC đều.

Suy ra diện tích DABC là A⁢B2⁢34=(56)2.34=14⁢3.

3. Vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ 5. Tính công sinh bởi lực F→⁢(20;30;-10) (đơn vị: N) tạo bởi một drone giao hàng khi thực hiện một độ dịch chuyển d→=(150;200;100) (đơn vị: m).

Hướng dẫn giải

Công sinh bởi lực F→ là A=F→.d→=20.150+30.200+(-10)⁢.100=8000 J.

Học tốt Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; 1), B(−1; 3; 2), C(2; 4; −3). Tích vô hướng A⁢B→.A⁢C→ là

A. 10.

B. −6.

C. 2.

D. −2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có A⁢B→=(-4;1;1) và A⁢C→=(-1;2;-4).

Khi đó A⁢B→.A⁢C→=(-4).(-1)+1.2+1.(-4)=2.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a→=(5;7;2), b→=(3;0;4),c→=(-6;1;-1). Tìm tọa độ của vectơ m→=3⁢a→-2⁢b→+c→.

A. m→=(3;-22;3).

B. m→=(3;22;-3).

C. m→=(3;22;3).

D. m→=(-3;22;-3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có a→=(15;21;6); b→=(6;0;8).

Khi đó m→=3⁢a→-2⁢b→+c→=(15-6-6;21-0+1;6-8-1)=(3;22;-3).

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 2), B(1; 1; 4) và trọng tâm G(1; −1; 2).

a) Tìm tọa độ điểm C.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tính B⁢A⁢C^.

Hướng dẫn giải

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

xC=3⁢xG-xA-xByC=3⁢yG-yA-yBzC=3⁢zG-zA-zB⇔xC=3.1-1-1=1yC=3.(-1)-0-1=-4zC=3.2-2-4=0.

Vậy C(1; −4; 0).

b) Có A⁢B→=(1-1;1-0;4-2)=(0;1;2)⇒|A⁢B→|=02+12+22=5.

A⁢C→=(1-1;-4-0;0-2)=(0;-4;-2)⇒|A⁢C→|=(-4)2+(-2)2=2⁢5

B⁢C→=(1-1;-4-1;0-4)=(0;-5;-4)⇒|B⁢C→|=(-5)2+(-4)2=41

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 5+41.

c) cos⁡B⁢A⁢C^=A⁢B→.A⁢C→|A⁢B→|.|A⁢C→|=0.0+1.(-4)+2.(-2)5⁢.2⁢5=-45.

Suy ra B⁢A⁢C^≈143∘.

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 4; 1) và B(1; 2; 1).

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A và B.

Hướng dẫn giải

a) Vì I là trung điểm của AB nên xI=xA+xB2yI=yA+yB2zI=zA+zB2⇔xI=3+12=2yI=4+22=3zI=1+12=1.

Vậy I(2; 3; 1).

b) Vì M thuộc Oy nên M(0; y; 0).

Do M cách đều hai điểm A và B nên MA = MB

⇔10+(4-y)2=2+(2-y)2.

⇔26-8⁢y+y2=6-4⁢y+y2

⇔4y=20⇔y=5.

Vậy M(0; 5; 0).

Bài 5. Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc a→=(300;200;400) (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp hai lần tốc độ của máy bay A.

a) Tìm tọa độ vectơ vận tốc b→ của máy bay B.

b) Tính tốc độ của máy bay B.

Hướng dẫn giải

a) Có b→=2⁢a→=(600;400;800).

b) Tốc độ của máy bay B là:

|b→|=6002+4002+8002≈1077,03km/h.

Bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Các bài học để học tốt Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ Toán lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTT

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay khác:

• Lý thuyết Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

• Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 2

• Lý thuyết Toán 12 Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

• Lý thuyết Toán 12 Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn

• Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 3

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)