Huy Cao's Blog

Thứ năm - 29/01/2026 00:39

DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN - DÃY SỐ

[Mọi người click vào số thứ tự bài để xem đáp án nha]

Bài 1 Cho dãy số

$(x_n)$ : $left{begin{matrix} x_1=1 x_n=dfrac{-14x_{n-1}-51}{5x_{n-1}+18};;(ngeq 2) end{matrix}right.$

a) Tính $x_{2013}$

b) Tính $lim;x_n$

Bài 2 Cho dãy số $(u_n)$

$left{begin{matrix} a_1=2,a_2=1 a_{n+2}=dfrac{a_na_{n+1}}{2a_n+a_{n+1}},;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $nrightarrow +infty$ . Tìm $underset{nrightarrow +infty }{lim}a_n$ .

Bài 3 Cho dãy số $(x_n)$ :

$left{begin{matrix} x_1=2 x_{n+1}=sqrt{4+sqrt{8x_n+1}},;forall n=1,2,... end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó.

Bài 4 Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn :

$left{begin{matrix} u_1> 0 u_{n+1}u_n-3=sqrt{3u_n^2+8u_n+9} end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 5 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa :

$left{begin{matrix} x_0=3 x_{n+1}^3-3x_{n+1}=sqrt{x_n+2} end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn đó.

Bài 6 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn :

$left{begin{matrix} x_1=1 x_{n+1}=sqrt{x_n(x_n+1)(x_n+2)(x_n+3)+1},;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

a) Chứng minh rằng $underset{nrightarrow +infty }{lim}x_n=+infty$

b) Tìm $underset{nrightarrow +infty }{lim}underset{i=1}{overset{n}{sum}} dfrac{1}{x_i+2}$

Bài 7 Dãy số $(x_n)$ cho bởi

$x_{1}=1 ; x_{n+1}=20+dfrac{13}{x_{n}}$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ và tìm $underset{nrightarrow +infty }{lim}x_n$

Bài 8 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi

$left{begin{matrix} x_1=4 x_{n+1}=dfrac{x_n^4+9}{x_n^3-x_n+6},;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Chứng minh rằng $underset{nrightarrow +infty }{lim}x_n=+infty$

Với mỗi số nguyên dương $n$ , ta đặt $y_n=underset{k=1}{overset{n}{sum}} dfrac{1}{x_k^3+3}$ . Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim}y_n$ .

Bài 9 Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn :

$left{begin{matrix} u_1=1 u_{n+1}=dfrac{u_n}{1+u_n^2},;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim}left ( u_nsqrt{n} right )$

Bài 10 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} x_0> 0 x_{n+1}=x_n+dfrac{1}{sqrt[k]{x_n}},;forall k,nin mathbb{N} end{matrix}right.$

Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim }dfrac{x_n^{k+1}}{n^k}$

Bài 11 Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} u_1=0 u_{n+1}=u_n+dfrac{1}{2sqrt{1+2u_n}},;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Tìm $underset{nrightarrow +infty }{lim}dfrac{sqrt[3]{n}u_n}{n}$

Bài 12 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn :

$left{begin{matrix} x_1=2013 x_{n-1}^2-2x_nx_{n-1}+4=0,;forall ngeq 2 end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 13 Cho dãy $(u_n)$ thỏa :

$left{begin{matrix} u_1=dfrac{1}{6} u_{n+1}=u_n^2+dfrac{2}{3}u_n,;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim}dfrac{5u_{n+1}^2-2u_n^2u_{n+1}+5u_nu_{n+1}}{3u_n^2+u_nu_{n+1}(4+u_n^2)}$

Bài 14 Cho dãy số nguyên dương $(u_n)$ thỏa :

$left{begin{matrix} u_1=1 u_{n+1}^2> u_nu_{n+2} end{matrix}right.$

Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim}dfrac{1}{n^2}left ( dfrac{1}{u_1}+dfrac{2}{u_2}+dfrac{3}{u_3}+...+dfrac{n}{u_n} right )$

Bài 15 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} x_1=1 x_{n+1}=x_n+x_n^2,;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim}left ( dfrac{x_1}{x_2}+dfrac{x_2}{x_3}+...+dfrac{x_n}{x_{n+1}} right )$

Bài 16 Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} a_1=a_2=1 a_{n+1}=a_n+dfrac{a_{n-1}}{n(n+1)} end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ hội tụ.

Bài 17 Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} x_0=alpha > 1 x_{n+1}=sqrt{1+dfrac{1}{1+x_n}},;forall nin mathbb{N} end{matrix}right.$

Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim}x_n$

Bài 18

Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau :

$left{begin{matrix} x_1=dfrac{1001}{1003} x_{n+1}=x_n-x_n^2+x_n^3-x_n^4+...+x_n^{2011}-x_n^{2012},;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim(}nx_n)$ .

Bài 19 Xét dãy số $(u_n)$ được xác định bởi :

$left{begin{matrix} u_1=a u_{n+1}=dfrac{(sqrt{2}+1)u_n-1}{sqrt{2}+1+u_n},;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

a) Tìm điều kiện của $a$ để mọi số hạng của dãy đều xác định.

b) Tìm $a$ để $u_{2011}=2011$ .

Bài 20 Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau :

$left{begin{matrix} u_1=2 u_{n+1}=u_n^3+3u_n^2-3,;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Tìm công thức tổng quát số hạng của dãy.

Bài 21 Cho hai dãy số dương $(x_n),(y_n)$ thỏa $x_1=1,y_1=sqrt{3}$ và :

$left{begin{matrix} x_ny_{n+1}-x_n=0 x^2_{n+1}+y_n=2 end{matrix}right.$

Chứng minh rằng hai dãy $(x_n),(y_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tính các giới hạn đó.

Bài 22 Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} u_1=4 u_{n+1}=dfrac{1}{9}left ( u_n+4+4sqrt{1+2u_n} right ) end{matrix}right.$

Tìm công thức tổng quát của dãy trên.

Bài 23 Cho dãy số thực $(x_n)$ thỏa mãn $x_{n+1}=dfrac{x_n^3+3x_n}{3x_n^2+1},;forall nin mathbb{N}^*$ .

a) Tìm công thức tính $x_n$ theo $x_1$ và $n$ .

b) Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 24 Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau :

$a_n=n+asqrt{n^2+1},;forall nin mathbb{N}^*$

Trong đó $a$ là tham số thực.

a) Tìm $a$ sao cho dãy số đã cho hội tụ.

b) Tìm $a$ sao cho $(a_n)$ là một dãy tăng kể từ số hạng nào đó.

Bài 25 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn :

$left{begin{matrix} x_1=a> 1 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n,;forall ngeq 1 end{matrix}right.$

Tìm :

$underset{nrightarrow +infty }{lim}left ( dfrac{x_1}{x_2-1}+dfrac{x_2}{x_3-1}+...+dfrac{x_n}{x_{n+1}-1} right )$

Bài 26 Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định như sau : $x_1=3$ và :

$x_n=dfrac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2),;forall ngeq 2$

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 27 Gỉa sử rằng :

$S_n=dfrac{n+1}{2^{n+1}}left ( dfrac{2}{1}+dfrac{2^2}{2}+dfrac{2^3}{3}+...+dfrac{2^{n}}{n} right )$

Chứng minh rằng tồn tại $underset{nrightarrow +infty }{lim}S_n$ và tính giới hạn này.

Bài 28 Cho dãy số $(x_n)$ với :

$left{begin{matrix} x_1=dfrac{2011}{2010} x_{n+1}=x_n^2-2x_n+dfrac{2n+4999}{n+2499};;(nin mathbb{N}^*) end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 29 Cho $p$ là một số nguyên dương lớn hơn $1$ , $a$ là một số thực dương. Xét dãy số $(x_n)$ :

$left{begin{matrix} x_1> 0 x_{n+1}=dfrac{1}{p}left ( (p-1)x_n+dfrac{a}{x_n^p} right ),;forall ngeq 1 end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tính giới hạn đó.

Bài 30 Cho hai dãy số dương $(x_n),(y_n)$ thỏa mãn :

$left{begin{matrix} x_1=y_1=dfrac{1}{sqrt{2}} x_{n+1}=dfrac{x_n}{4y_{n+1}^2-1} y_{n+1}=dfrac{y_n}{1-4x_{n+1}^2} end{matrix}right.,;forall n=1,2,3,...$

a) Chứng minh rằng $x_n^2+y_n^2=1,;forall n=1,2,3...$

b) Tìm các giới hạn của các dãy $(x_n),(y_n)$ .

Bài 31 Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi :

$x_1=1$ và $x_n=dfrac{2n}{(n-1)^2}underset{i=1}{overset{n-1}{sum}} x_i$ $forall ngeq 2$

Với mỗi số nguyên dương $n$ , ta đặt $y_n=x_{n+1}-x_n$ . Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 32 Cho các số dương $a,b,c$ . Xét ba dãy số $(u_n),(v_n),(w_n)$ sao cho :

$u_0=a,v_0=b,w_0=c$ và với mọi số tự nhiên $n$ thì :

$u_{n+1}=dfrac{u_n+v_n+w_n}{3},v_{n+1}=sqrt[3]{u_nv_nw_n},w_{n+1}=dfrac{3}{dfrac{1}{u_n}+dfrac{1}{v_n}+dfrac{1}{w_n}}$

Chứng minh rằng ba dãy số nói trên có giới hạn hữu hạn và ba giới hạn đó bằng nhau.

Bài 33 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} x_1=1 x_{n+1}=dfrac{2}{x_n}+dfrac{sqrt{3}}{x_n^2},;forall ngeq 1 end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ không có giới hạn hữu hạn.

Bài 34 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} x_1=dfrac{1}{4} x_n=dfrac{x_1+4x_2+9x_3+...+(n-1)^2x_{n-1}}{n^2(n-1)},;forall ngeq 2 end{matrix}right.$

Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim}left ( 30n^2-4n+2011 right )x_n$

Bài 35 Cho $a,bin left ( 0,1 right )$ và dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} u_0=a,u_1=b u_{n+2}=dfrac{1}{2011}u_{n+1}^4+dfrac{2010}{2011}sqrt[4]{u_{n}} end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 36 Cho hai dãy số $(a_n),(b_n)$ thỏa mãn $a_1=3,b_1=2$ và :

$left{begin{matrix} a_{n+1}=a_n^2+2b_n^2 b_{n+1}=2a_nb_n end{matrix}right.$

Tính các giới hạn $underset{nrightarrow +infty }{lim}sqrt[2^n]{b_n}$ và $underset{nrightarrow +infty }{lim}sqrt[2^n]{a_1a_2a_3...a_n}$ .

Bài 37 Cho dãy số $(x_n)$ như sau :

$left{begin{matrix} x_1in left ( 1,2 right ) x_{n+1}=1+x_n-dfrac{x_n^2}{2},;forall n=1,2,... end{matrix}right.$

Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim}x_n$ .

Bài 38 Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi :

$left{begin{matrix} x_0,x_1,x_2in left ( 0,1 right ) 3x_{n+3}=x_n^2+x_{n+2}^2,;forall n=0,1,2,... end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 39 Cho các số thực dương $a,b$ . Xét dãy số $(u_n)$ :

$left{begin{matrix} u_1=a,u_2=b u_{n+2}=3sqrt[5]{u_{n+1}}+13sqrt[5]{u_n},;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 40 Cho các số thực $a,b$ thuộc khoảng $(0,4)$ . Xét dãy số $(x_n)$ như sau :

$left{begin{matrix} x_0=a,x_1=b x_{n+2}=dfrac{2(x_{n+1}+x_n)}{sqrt{x_{n+1}}+sqrt{x_n}},;forall nin mathbb{N} end{matrix}right.$

Tính giới hạn hữu hạn nếu có của $(x_n)$ .

Bài 41 Xác định công thức tổng quát của dãy $(a_n)$ :

$left{begin{matrix} a_1=dfrac{3sqrt{3}}{2} a_{n+1}=2.3^{2^n}a_n^2-3^{2^n(n+1)},;forall ngeq 1 end{matrix}right.$

Bài 42 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $0<x_0<x_1$ và :

$sqrt{1+x_n}left ( 1+sqrt{x_{n-1}x_{n+1}} right )=sqrt{1+x_{n-1}}left ( 1+sqrt{x_nx_{n+1}} right ),;forall ngeq 1$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 43 Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_0=1,u_1=3$ và :

$u_{n+1}^2+4u_{n+1}=u_n+u_{n-1}+2sqrt{(u_n+2)(u_{n-1}+2)}$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 44 Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $a_1=dfrac{1}{3}, a_2=dfrac{2}{7}$ và :

$a_{n+1}=dfrac{1}{2}+dfrac{a_n}{3}+dfrac{a_{n-1}^2}{6}$

Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 45 Cho dãy số $(x_n)$ như sau :

$left{begin{matrix} x_1=a x_{n+1}=sqrt[3]{7x_n-6} end{matrix}right.$

Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn trong các trường hợp đó.

Bài 46 Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} u_0=ageq 0 u_{n+1}=dfrac{6}{u_n^2+2},;forall nin mathbb{N} end{matrix}right.$

Tồn tại hay không giá trị của $a$ để dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn ?

Bài 47 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} x_1=dfrac{1}{3} x_{n+1}=dfrac{x_n^2}{2}-1,;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Chứng minh rằng $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 48 Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} u_1=min mathbb{R} 7u_{n+1}=sqrt{30u_n^2+4} end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 49 Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau :

$left{begin{matrix} x_0=a,0< aneq 1 x_{n+1}=dfrac{x_n^2+5}{2(x_n+2)},;forall nin mathbb{N} end{matrix}right.$

Chứng minh rằng $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 50 Cho trước bốn số thực dương $a,b,A,B$ . Xét dãy số $(x_n)$ :

$x_1=a,x_2=b,x_{n+2}=Asqrt[3]{x_{n+1}^2}+Bsqrt[3]{x_n^2},;forall nin mathbb{N}^*$

Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 51 Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn

$left{begin{matrix} x_{1}=0,x_{2}=1 & & x_{n+1}=dfrac{3x_{n-1}+2}{10x_{n}+2x_{n-1}+2},ngeq 2 & & end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 52 Cho hai dãy $(a_n),(b_n)$ thỏa mãn :

$left{begin{matrix} a_0=1,a_1=dfrac{1}{2} 2b_{n+1}=2b_n-a_n b_n=dfrac{1}{3}+2a_{n+1} end{matrix}right.$

Đặt $c_n=dfrac{1}{2^{n+1}}underset{k=0}{overset{n}{sum} } dfrac{b_k}{a_k}$ . Tính $underset{nrightarrow +infty }{lim}c_n$ .

Bài 53 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$left{begin{matrix} x_1=0,x_2=2 x_{n+2}=2^{-x_n}+dfrac{1}{2},;forall ngeq 1 end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 54 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=1,x_2=sqrt{2},x_3=sqrt{3}$ và :

$x_{n+3}x_n-3=sqrt{3x_n^2+8x_n+9},;forall nin mathbb{N}^*$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 55 Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=2011$ và :

$u_{n+1}=dfrac{pi }{8}left ( cos u_n+dfrac{cos 2u_n}{2}+dfrac{cos 3u_n}{3}right ),;forall ngeq 1$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 56 Xét dãy số $(u_n)$ như sau : $u_1=a>0$ và :

$u_{n+1}=log_3sqrt[3]{u_n^3+1}+dfrac{4}{3},;forall nin mathbb{N}$

Chứng minh dãy này có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 57 Xét dãy số $(u_n)$ như sau :

$left{begin{matrix} u_1=ain left ( 0,1 right ) u_{n+1}=dfrac{1}{2}sqrt[3]{(1-u_n)^5},;forall nin mathbb{N}^* end{matrix}right.$

Chứng minh rằng $(u_n)$ hội tụ.

Bài 58 Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau :

$left{begin{matrix} x_0,x_1,x_2in mathbb{R} 3^{x_n}+4^{x_{n+2}}=5^{x_{n+3}},;forall nin mathbb{N} end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 59 Xét dãy số $(u_n)$ như sau :

$left{begin{matrix} u_1< 2,u_2< 2 u_{n+2}=dfrac{1}{3}(u_{n+1}+2^{u_n}),;forall n=1,2,.. end{matrix}right.$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Khánh

Mình là Khánh, người sáng lập nghengu.vn – nơi chia sẻ niềm yêu thích với tiếng Nghệ, tiếng Việt và những phương ngữ đa dạng. Mình mong muốn lan toả vẻ đẹp của tiếng mẹ đẻ đến nhiều người hơn. Nếu thấy nội dung hữu ích, bạn có thể ủng hộ bằng cách donate hoặc mua sản phẩm giáo dục qua các liên kết tiếp thị trong bài viết.

Cảm ơn bạn đã đồng hành!