Các dạng vô định

1. Dạng vô định (dfrac{0}{0})

Bài toán:

Tính (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}) khi (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = 0), trong đó (fleft( x right),gleft( x right)) là các đa thức hoặc căn thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.

- Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

- Bước 3: Tính giới hạn theo cách thông thường.

Nếu (fleft( x right)) và (gleft( x right)) có chứa căn thức thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích và giản ước.

Ví dụ: $mathop {lim }limits_{x to 2} dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = mathop {lim }limits_{x to 2} dfrac{{x - 2}}{{left( {x - 2} right)left( {x - 1} right)}} = mathop {lim }limits_{x to 2} dfrac{1}{{x - 1}} = dfrac{1}{{2 - 1}} = 1$

2. Dạng vô định (dfrac{infty }{infty })

Bài toán: Tính (mathop {lim }limits_{x to pm infty } dfrac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}) khi (mathop {lim }limits_{x to pm infty } fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to pm infty } gleft( x right) = pm infty ), trong đó (fleft( x right),gleft( x right)) là các đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

- Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của (x).

- Bước 3: Tính các giới hạn thông thường và suy ra kết quả.

Ví dụ: (mathop {lim }limits_{x to - infty } dfrac{{sqrt {{x^2} - 1} }}{{2x}} ) (= mathop {lim }limits_{x to - infty } dfrac{{sqrt {{x^2}left( {1 - dfrac{1}{{{x^2}}}} right)} }}{{2x}} ) (= mathop {lim }limits_{x to - infty } dfrac{{left| x right|sqrt {1 - dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} ) (= mathop {lim }limits_{x to - infty } dfrac{{ - xsqrt {1 - dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} = - dfrac{1}{2})

3. Dạng vô định (0.infty )

Bài toán: Tính giới hạn $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]$ khi $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = 0$ và $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = pm infty $.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right] = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{fleft( x right)}}{{dfrac{1}{{gleft( x right)}}}}$ để đưa về dạng (dfrac{0}{0}) hoặc $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right] = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{gleft( x right)}}{{dfrac{1}{{fleft( x right)}}}}$ để đưa về dạng (dfrac{infty }{infty }).

- Bước 2: Sử dụng các phương pháp của dạng 1 và 2 để tính tiếp giới hạn.

4. Dạng vô định (infty - infty )

Bài toán: Tính (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right) - gleft( x right)} right]) khi (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = + infty ,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = + infty ) hoặc tính (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right) + gleft( x right)} right]) khi (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = + infty ,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = - infty ).

Phương pháp:

- Bước 1: Nhận hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.

- Bước 2: Thực hiện tính giới hạn dựa theo các dạng đã biết.