8 cách phân tích đa thức thành nhân tử cực hay

Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 8 học kì 1. Đây là dạng bài thường gặp trong Toán 8, đồng thời cũng là phần toán căn bản các em cần nắm vững để có thể làm các dạng Toán nâng cao. Tài liệu dưới đây, VnDoc sẽ gửi tới các bạn 8 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, lý thuyết kèm bài tập vận dụng để các em luyện tập. Sau đây mời các em tham khảo chi tiết.

I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) (2 x^{2}-8 x^{3}+12 x=2. x. x^{3}-2.4. x. x^{2}+2.6 .x)

(=2 .x cdotleft(x^{3}-4 x^{2}+6right))

b) (x y^{2}-3 x^{2} y^{2}+2 x y^{3}=x y^{2}.(1-3+2 y))

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

a) (x^{2}-4 x+4=x^{2}-2 .x cdot 2+2^{2}=(x-2)^{2})

b) (x^{3}+9 x^{2}+27 x+27)

(=x^{3}+3 cdot x^{2} cdot 3+3 cdot x cdot 3^{2}+3^{3})

(=(x+3)^{3})

3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

(x^4+x-4x^2-2=left(x^4-4x^2right)+left(x-2right))

(=x^{2}left(x^{2}-4right)+(x-2)=x^{2}(x-2)(x+2)+(x-2))

(=(x-2)left[x^{2}(x+2)+1right]=(x-2)left(x^{3}+2 x^{2}+1right))

4. Phương pháp tách

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử.

(2 x^{2}-7 x y+5 y^{2}=2 x^{2}-2 x y-5 x y+5 y^{2})

(=left(2 x^{2}-2 x yright)-left(5 x y-5 y^{2}right))

(=2 x(x-y)-5 y(x-y))

(=(x-y)(2 x-5 y))

5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Ví dụ:

(x^{4}+4=x^{4}+4 x^{2}+4-4 x^{2})

(=left(x^{4}+4 x^{2}+4right)-4 x^{2})

(=left(x^{2}+2right)^{2}-(2 x)^{2})

(=left(x^{2}+2-2 xright)(x+2+2 x))

6. Phương pháp đặt biến phụ

Ví dụ: (A=left(x^{2}+2 x+8right)^{2}+3 x cdotleft(x^{2}+2 x+8right)+2 x^{2})

Đặt: (y=x^{2}+2 x+8)

Ta có: (A=y^{2}+3 x y+2 x^{2}=y^{2}+x y+2 x y+2 x^{2})

(=left(y^{2}+x yright)+left(2 x y+2 x^{2}right)=y(x+y)+2 x(x+y))

(=(x+y)(2 x+y))

7. Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử B = a5 + a4 + 1

B = a5 + a4 + a3 - a3 - a2 - a + a2 + a + 1

= a3(a2 + a + 1) - a(a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)

= (a2 + a + 1)(a3 - a + 1)

8. Phương pháp hệ số bất định

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a, (ab - 1)2 + (a + b)2

b, x3 + 2x2 + 2x + 1

c, x2 - 2x - 4y2 - 4y

Giải

a) Ta có: (ab - 1)2 + (a + b)2

= a2b2 - 2ab + 1 + a2 + 2ab + b2

= a2b2 + a2 + b2 + 1

= (a2b2 + a2) + (b2 + 1)

= a2(b2 + 1) + (b2 + 1)

= (a2 + 1)(b2 + 1)

b) Ta có: x3 + 2x2 + 2x + 1

= (x3 + 1) + (2x2 + 2x)

= (x + 1)(x2 - x + 1) + 2x(x + 1)

= (x + 1)(x2 + x + 1)

c) Ta có: x2 - 2x - 4y2 - 4y

= (x2 - 4y2) - (2x + 4y)

= (x - 2y)(x + 2y) - 2(x + 2y)

= (x + 2y)(x - 2y - 2).

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau A = x6 - 2x4 + x3 + x2 - x, biết x3 - x = 6.

Giải

Ta có: A = x6 - 2x4 + x3 + x2 - x

= (x6 - 2x4 + x2) + (x3 - x)

= (x3 - x)2 + (x3 - x)

Với x3 - x = 6 = (x3 - x)2 + (x3 - x), ta có A = 62 + 6 = 36 + 6 = 42.

Vậy A = 42.

III. Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

1. Trắc nghiệm

Bài 1: Đa thức 4x(2y - z) + 7y(z - 2y) được phân tích thành nhân tử là ?

A. (2y + z)(4x + 7y)

B. (2y - z)(4x - 7y)

C. (2y + z)(4x - 7y)

D. (2y - z)(4x + 7y)

Lời giải:

Ta có: 4x(2y - z) + 7y(z - 2y)

= 4x(2y - z) - 7y(2y - z)

= (2y - z)(4x - 7y).

Chọn đáp án B.

Bài 2: Đa thức x3(x2 - 1) - (x2 - 1) được phân tích thành nhân tử là ?

A. (x - 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)

B. (x3 - 1)(x2 - 1)

C. (x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)

D. (x - 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)

Lời giải:

Ta có: x3(x2 - 1) - (x2 - 1)

= (x2 - 1)(x3 - 1)

= (x - 1)(x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)

= (x - 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)

Chọn đáp án D.

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức A = x2 - y2 + 2y - 1 với x = 3 và y = 1.

A. A = - 9.

B. A = 0.

C. A = 9.

D. A = - 1.

Lời giải:

Ta có A = x2 - y2 + 2y - 1 = x2 - (y2 - 2y + 1)

= x2 - (y - 1)2

= (x - y + 1)(x + y - 1)

(hằng đẳng thức a2 - b2 = (a - b)(a + b)).

Khi đó với x = 3 và y = 1, ta có A = (3 - 1 + 1)(3 + 1 - 1) = 3 . 3 = 9.

Chọn đáp án C.

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + x2 + y3 + xy

A. (x + y).(x2 - xy + y2 + x)

B. (x - y).(x2 + xy + y2 - x)

C. (x + y).(x2 + xy + y2 - x)

D. (x - y).(x2 + xy - y2 + x)

Lời giải:

Ta có: x3 + x2 + y3 + xy = (x3 + y3) + (x2 + xy)

= (x + y). (x2 - xy + y2) + x.(x + y)

= (x + y). (x2 - xy + y2 + x)

Chọn đáp án A

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 9x + 2x2y + xy2

A. x. (x - y + 3).(x + y - 3)

B. x. (x + y + 3).(x + y - 3)

C. x. (x - y + 3).(x - y - 1)

D. x. (x + y + 1).(x - y - 3)

Lời giải:

Ta có: x3 - 9x + 2x2y + xy2

= x.(x2 - 9 + 2xy + y2)

= x.[(x2 + 2xy + y2) - 9]

= x.[(x + y)2 - 32]

= x.(x + y + 3).(x + y - 3)

Chọn đáp án B

2. Tự luận

Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x2 - y2 - 2x + 2y

2) 2x + 2y - x2 - xy

3) x2 - 25 + y2 + 2xy

4) x2 - 2x - 4y2 - 4y

5) x2y - x3 - 9y + 9x

6) x2(x - 1) + 16(1 - x)

Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 4x2 - 25 + (2x + 7)(5 - 2x)

2) x3 + x2y - 4x - 4y

3) 3(x+ 4) - x2 - 4x

4) x3 - 3x2 + 1 - 3x

5) 5x2 - 5y2 - 10x + 10y

6) 3x2 - 6xy + 3y2 - 12z2

7) x2 - xy + x - y

8) x2 - 2x - 15

Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 2x2 + 3x - 5

2) x2 + 4x - y2 + 4

3) 2x2 - 18

4) x3 - x2 - x + 1

5) x2 - 7xy + 10y2

6) x4 + 6x2y + 9y2 - 1

7) x3 - 2x2 + x - xy2

8) ax - bx - a2 + 2ab - b2

Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x4y4 + 4

3) x4y4 + 64

5) x8 + x7 + 1

7) x8 + 3x4 + 1

9) x10 + x5 + 1

2) x7 + x2 + 1

4) x8 + x + 1

6) 32x4 + 1

8) x4 + 4y4

Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x2 + 2xy - 8y2 + 2xz + 14yz - 3z2

2) 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1

3) 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3

4) 2x2 - 7xy + 3y2 + 5xz - 5yz + 2z2

5) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2

6) x2 - 8xy + 15y2 + 2x - 4y - 3

7) x4 - 13x2 + 36

8) x4 + 3x2 - 2x + 3

9) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3

2) (a - x)y3 - (a - y)x3 - (x - y)a3

3) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)

4) (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3

5) 3x5 - 10x4 - 8x3 - 3x2 + 10x + 8

6) 5x4 + 24x3 - 15x2 - 118x + 24

7) 15x3 + 29x2 - 8x - 12

8) x4 - 6x3 + 7x2 + 6x - 8

9) x3 + 9x2 + 26x + 24

Bài tập 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12

2) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

3) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12

4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24

5) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20

6) x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35

7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12

9) 4(x2 + 15x + 50) - (x2 + 18x + 74) - 3x2

Xem thêm:

• Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao
• Giải Toán 8 bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
• Giải bài tập SGK trang 19 Toán lớp 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
• Giải bài tập trang 22, 23 SGK Toán lớp 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử