Phương trình lượng giác đặc biệt & các dạng bài tập có lời giải

Phương trình lượng giác cơ bản là kiến thức quan trọng mà các em đã được học ở bài trước trong chương trình Toán lớp 11. Phương trình lượng giác đặc biệt là gì? Giá trị nào của phương trình lượng giác được gọi là đặc biệt và nó có công thức nghiệm như thể nào? Các bạn cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu trong bài viết dưới đây.

1. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác đặc biệt

1.1. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác đặc biệt sinx = a

+ Trường hợp a = 1, phương trình sinx = 1 có các nghiệm là

x = + k2π, k ∈

+ Trường hợp a = -1, phương trình sinx = -1 có các nghiệm là

x = + k2π, k ∈

+ Trường hợp a = 0, phương trình sinx = 0 có các nghiệm là

x = kπ, k ∈

Ví dụ: Giải phương trình sau: sin(3x ) = 0.

Hướng dẫn giải: Ta thấy vế trái đơn thuần là hàm sin(u(x)) và vế phải a = 0, rơi vào trường hợp 3 đã nêu ở trên. Ta áp dụng công thức nghiệm và giải tìm x.

Giải

Ta có: sin(3x ) = 0

⇔ 3x = kπ

⇔ 3x = + kπ

⇔ x = , k ∈

Vậy các nghiệm của phương trình là x = , k ∈

1.2. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác đặc biệt cosx = a

+ Trường hợp a = 1, phương trình cosx = 1 có các nghiệm là

x = k2π, k ∈

+ Trường hợp a = -1, phương trình cosx = -1 có các nghiệm là

x = π + k2π, k ∈

+ Trường hợp a = 0, phương trình cosx = 0 có các nghiệm là

x = + kπ, k ∈

Ví dụ: Giải phương trình sau: cos(-6x) = 1

Hướng dẫn giải: Ta thấy vế bên trái đơn thuần là hàm số cos(u(x)) và vế bên phải a = 1, rơi vào trường hợp 1 đã nêu ở trên. Ta áp dụng công thức nghiệm và giải tìm x.

Giải

Ta có: cos(-6x) = 1

⇔ -6x = k2π

⇔ x = , k ∈

Vậy các nghiệm của phương trình trên là x = , k ∈

Lưu ý: Khi ta giải và tìm x xong, nếu đuôi k.u(x) có dấu " - " thì thường ta sẽ đưa dấu " - " thành dấu " + ". Nó không bị mất tính tổng quát.

1.3. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác đặc biệt tanx = a

+ Trường hợp a = 1, phương trình tanx = 1 có các nghiệm là

x = + kπ, k ∈

+ Trường hợp a = -1, phương trình tanx = -1 có các nghiệm là

x = - + kπ, k ∈

+ Trường hợp a = 0, phương trình tanx = 0 có các nghiệm là

x = kπ, k ∈

Ví dụ: Giải phương trình sau: tan(7x + 3) = -1

Hướng dẫn giải: Ta thấy vế bên trái đơn thuần là hàm số tan(u(x)) và vế bên phải a = -1, rơi vào trường hợp 2 đã nêu ở trên. Ta áp dụng công thức nghiệm và giải tìm x.

Giải

Ta có: tan(7x + 3) = -1

⇔ 7x + 3 = - + kπ

⇔ 7x = -3 - + kπ

⇔ x = , k ∈

Vậy các nghiệm của phương trình trên là x = , k ∈

1.4. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác đặc biệt cotx = a

+ Trường hợp a = 1, phương trình cotx = 1 có các nghiệm là

x = + kπ, k ∈

+ Trường hợp a = -1, phương trình cotx = -1 có các nghiệm là

x = - + kπ, k ∈

+ Trường hợp a = 0, phương trình cotx = 0 có các nghiệm là

x = + kπ, k ∈

Ví dụ: Giải phương trình sau: cot(2x) = 1.

Hướng dẫn giải: Ta thấy vế bên trái đơn thuần là hàm số cot(u(x)) và vế bên phải a = 1, rơi vào trường hợp 1 đã nêu ở trên. Ta áp dụng công thức nghiệm và giải tìm x.

Giải

Ta có: cot(2x) = 1

⇔ 2x = + kπ

⇔ x = , k ∈

Vậy các nghiệm của phương trình trên là x = , k ∈

2. Các dạng toán áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác đặc biệt lớp 11

Câu 1: Số nghiệm của phương trình: sin = 1 với π ≤ x ≤ 5π

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Giải phương trình sin = 1 ⇒ các nghiệm x

+ Bước 2: Với từng giá trị x ta xét x sao cho π ≤ x ≤ 5π ⇒ các giá trị k, k ∈

+ Bước 3: Kết luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giá trị nguyên của k.

Giải

Ta có: sin = 1

⇔ x + = + k2π

⇔ x = + k2π

⇔ x = + k2π, k ∈

Xét π ≤ x ≤ 5π

⇔ π ≤ + k2π ≤ 5π

⇔ π - ≤ k2π ≤ 5π -

⇔ ≤ k2π ≤

⇔ 0,375 ≤ k ≤ 2,357

⇒ k = 0; 1; 2

Vậy số nghiệm của phương trình là 3.

Chọn đáp án D.

Câu 2: Các nghiệm của phương trình cos(3x + 36o) = 1 là:

A. x = -12o + k360o

B. x = 12o + k120o

C. x = -12o + k120o

D. x = 12o + k360o

Hướng dẫn giải: Ta áp dụng công thức cosu(x) = 1 ⇔ u(x) = k2π, k ∈ . Tuy nhiên, do vế trái tính theo đơn vị độ nên ta đổi 2π = 360o.

Giải

Ta có: cos(3x + 36o) = 1

⇔ 3x + 36o = k360o

⇔ 3x = -36o + k360o

⇔ x = -12o + k120o, k ∈

Vậy các nghiệm của phương trình là x = -12o + k120o, k ∈

Chọn đáp án C.

Câu 3: Nghiệm của phương trình tan(2x -15o) = 1, với -90o < x < 90o là

A. x = -30o

B. x = 30o

C. x = -60o

D. x = -60o, x = 30o

Hướng dẫn giải: Ta áp dụng công thức tanu(x) = 1 ⇔ u(x) = + kπ, k ∈ . Tuy nhiên, do vế trái tính theo đơn vị độ nên ta đổi π = 180o và = 45o.

+ Bước 1: Giải phương trình tan(2x -15o) = 1 ⇒ các nghiệm x

+ Bước 2: Với từng giá trị x ta xét x sao cho -90o < x < 90o ⇒ các giá trị k, k ∈

+ Bước 3: Thay giá trị nguyên k vừa tìm được vào x vừa tìm được, ta suy ra các giá trị x thoả mãn -90o < x < 90o.

Giải

Ta có: tan(2x -15o) = 1

⇔ 2x -15o = 45o + k180o

⇔ 2x = 60o + k180o

⇔ x = 30o + k90o

Xét -90o < x < 90o

⇔ -90o < 30o + k90o < 90o

⇔ -120 < k90o < 60o

⇔ -1,(3) < k < 0,(6)

⇒ k = -1; 0

⇒ x = -60o, x = 30o

Chọn đáp án D.

Câu 4: Các nghiệm x = , k ∈ là các nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cot(4x) = 0

B. cot(2x) = 0

C. cot(-2x) = 1

D. cot(-4x) = 0

Câu A: cot(4x) = 0 ⇔ 4x = + kπ ⇔ x = , k ∈

Câu B: cot(2x) = 0 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = , k ∈

Câu C: cot(-2x) = 1 ⇔ -2x = + kπ ⇔ x = , k ∈

Câu D: cot(-4x) = 0 ⇔ -4x = + kπ ⇔ x = , k ∈

Chọn đáp án A.

Câu 5: Các nghiệm của phương trình sin(2x - 3) = -1 là

A. x = + k2π

B. x =

C. x =

D. x =

Hướng dẫn giải: Ta áp dụng công thức sinu(x) = -1 ⇔ u(x) = + k2π, k ∈ .

Giải

Ta có: sin(2x - 3) = -1

⇔ 2x - 3 = + k2π

⇔ 2x = 3 + k2π

⇔ x = , k ∈ .

Chọn đáp án B.

Phương trình lượng giác đặc biệt là một dạng toán rất hay và thường xuất hiện trong các đề thi. Bài viết trên đã nêu rõ các công thức nghiệm, đưa ra các ví dụ, bài tập cụ thể kèm phương pháp và lời giải chi tiết. VOH Giáo Dục chúc các bạn học tốt và có các bài kiểm tra đạt kết quả cao.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang