Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit

1. Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng (y = {a^x}), hàm số lôgarit là hàm số có dạng (y = {log _a}x) ( với cơ số a dương khác 1).

2. Tính chất của hàm số mũ (y = {a^x}) (( a > 0, ane 1)).

- Tập xác định: (mathbb{R}).

- Đạo hàm: (∀x ∈mathbb{R},y'= a^x ln a).

- Chiều biến thiên

+) Nếu (a> 1) thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu (0< a < 1) thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: trục (Ox) là tiệm cận ngang.

- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành ((y = {a^x} >0 , forall x)), và luôn cắt trục tung tại điểm (( 0;1)) và đi qua điểm ((1;a)).

3. Tính chất của hàm số lôgarit (y = {log _a}x) ((a> 0, ane1)).

- Tập xác định: ((0; +∞)).

- Đạo hàm (∀x ∈ (0; +∞),y'= dfrac{1}{xln a}).

- Chiều biến thiên:

+) Nếu (a> 1) thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu (0< a < 1) thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: Trục (Oy) là tiệm cận đứng.

- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm ((1;0)) và đi qua điểm ((a;1)).

4. Chú ý

- Nếu (a > 1) thì (ln a > 0), suy ra ((a^x)'>0 , , forall x) và ({({log_a}^x)}; > 0,;;forall x{rm{ }} > 0;)

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu (0 < a< 1) thì (ln a < 0), (({a^x})' < 0) và ({({log_a}^x)}; < 0,;;forall x{rm{ }} > 0;) ; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

( (ln |x|)'= dfrac{1}{x}, ∀x ne 0) và ((log _a|x|)' = frac{1}{{xln a}},{rm{ }}forall x ne 0.)

5. Bài tập về hàm số mũ, hàm số lôgarit

Bài 1. Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số (y = {a^{ - x}}left( {0 < a ne 1} right)) đồng biến nếu (a > 1).

B. Hàm số (y = {a^{ - x}}left( {0 < a ne 1} right)) nghịch biến nếu (0 < a < 1).

C. Hàm số (y = {a^{ - x}}left( {0 < a ne 1} right)) đồng biến nếu (0 < a < 1).

D. Hàm số (y = {a^{ - x}}left( {0 < a ne 1} right)) luôn nghịch biến trên (R).

Lời giải: Ta có:

Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai.

(y = {a^{ - x}} = dfrac{1}{{{a^x}}} = {left( {dfrac{1}{a}} right)^x}left( {0 < a ne 1} right)) nên hàm số đồng biến nếu (dfrac{1}{a} > 1 Leftrightarrow 0 < a < 1).

Chọn đáp án C.

Bài 2. Chọn mệnh đề đúng:

A. Đồ thị hàm số (y = {2^x}) trùng với đồ thị hàm số (y = {left( {dfrac{1}{2}} right)^{ - x}})

B. Đồ thị hàm số (y = {2^x}) trùng với đồ thị hàm số (y = {2^{ - x}}).

C. Đồ thị hàm số (y = {2^x}) đối xứng với đồ thị hàm số (y = {left( {dfrac{1}{2}} right)^{ - x}}) qua trục hoành

D. Đồ thị hàm số (y = {2^x}) đối xứng với đồ thị hàm số (y = {left( {dfrac{1}{2}} right)^{ - x}}) qua trục tung.

Lời giải: Ta có: (y = {left( {dfrac{1}{2}} right)^{ - x}} = dfrac{1}{{{{left( {dfrac{1}{2}} right)}^x}}} = dfrac{1}{{dfrac{1}{{{2^x}}}}} = {2^x}) nên hai hàm số (y = {2^x}) và (y = {left( {dfrac{1}{2}} right)^{ - x}}) là một. Do đó chúng có chung đồ thị.

Chọn đáp án A.

Bài 3. Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào?

A. (y = {2^{ - x}})

B. (y = {left( {dfrac{1}{2}} right)^{ - x}})

C. (y = - {left( {dfrac{1}{2}} right)^x})

D. (y = - {2^x})

Lời giải: Quan sát đồ thị ta thấy nó nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên loại A và B.

Lại có, đồ thị hàm số đi qua điểm (left( { - 1; - 2} right)) nên thay tọa độ điểm này vào các hàm số C và D ta được đáp án C.

Chọn đáp án C.

Bài 4. Hàm số (y = {2^{ln x + {x^2}}}) có đạo hàm là

A. (left( {dfrac{1}{x} + 2x} right){2^{ln x + {x^2}}})

B. (left( {dfrac{1}{x} + 2x} right){2^{ln x + {x^2}}}.ln 2)

C. (dfrac{{{2^{ln x + {x^2}}}}}{{ln 2}})

D. (left( {dfrac{1}{x} + 2x} right)dfrac{{{2^{ln x + {x^2}}}}}{{ln 2}})

Lời giải: Có $y = {2^{ln x + {x^2}}} Rightarrow y' = left( {dfrac{1}{x} + 2x} right){2^{ln x + {x^2}}}.ln 2$

Chọn đáp án B.

Bài 5. Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số (y = log x). Tìm khẳng định đúng?

A. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng

B. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị $(C)$ cắt trục tung.

D. Đồ thị $(C)$ không cắt trục hoành.

Lời giải:

- Đồ thị hàm số (y = log x) nhận trục tung là tiệm cận đứng.

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ nên các đáp án B,C,D đều sai

Chọn đáp án A.

Bài 6. Cho $a, b$ là các số thực, thỏa mãn (0 < a < 1 < b), khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ({log _b}a + {log _a}b < 0)

B. ({log _b}a > 1)

C. ({log _a}b > 0)

D. ({log _a}b + {log _b}a ge 2)

Lời giải: Ta có: (0 < a < 1) nên hàm số (y = {log _a}x) nghịch biến, do đó (b > 1) nên ({log _a}b < {log _a}1 = 0).

Vì (b > 1) nên hàm số (y = {log _b}x) đồng biến, do đó (a < 1) nên ({log _b}a < {log _b}1 = 0).

Vậy ({log _a}b < 0;{log _b}a < 0 Rightarrow {log _a}b + {log _b}a < 0).

Chọn đáp án A.

Bài 7. Tìm tập xác định D của hàm số (y = {log _{sqrt 2 }}left( {dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}}} right)).

A. (D = ( - infty ;1))

B. (D = {rm{[}}1; + infty ))

C. (D = ( - infty ;1])

D. (D = (1; + infty ))

Lời giải: Điều kiện : (dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}} > 0 Leftrightarrow 2 - 2x < 0 Leftrightarrow x > 1.)

Chọn đáp án D.

Bài 8. Đạo hàm hàm số (y = {log _{2018}}left( {2018x + 1} right)) là:

A. (dfrac{1}{{xln 2018}})

B. (dfrac{{2018}}{{2018left( {x + 1} right)ln 2018}})

C. (dfrac{1}{{left( {2018x + 1} right)ln 2018}})

D. (dfrac{{2018}}{{left( {2018x + 1} right)ln 2018}})

Lời giải: Ta có:

(left[ {{{log }_{2018}}left( {2018x + 1} right)} right]' = dfrac{{left( {2018x + 1} right)'}}{{left( {2018x + 1} right)ln 2018}} = dfrac{{2018}}{{left( {2018x + 1} right)ln 2018}})

Chọn đáp án D.