Đồ thị hàm số bậc 4: Cách nhận dạng & bài tập ứng dụng

Trong chương trình bậc THPT, nội dung về đồ thị hàm số bậc 4 chỉ nhắc đến hàm số bậc 4 trùng phương. Tuy nhiên trong các đề thi THPT QG 2022 các câu về đồ thị hàm số nhất là hàm hợp thường xuyên xuất hiện dạng đồ thị có ba cực trị trong đó có hai giá trị cực đại và một giá trị cực tiểu hoặc hai giá trị cực tiểu và một giá trị cực đại, điều bất thường ở đây là hai giá trị cực đại hoặc hai giá trị cực tiểu kể trên lại có giá trị khác nhau. Nắm bắt được yếu tố bất thường trong cấu trúc của đồ thị hàm số trên, chủ đề hôm nay chúng ta cùng đi tìm hiểu khái quát hơn về đồ thị hàm số bậc 4.

1. Khảo sát đồ thị hàm số bậc 4

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y = f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e (a ≠ 0)

• Tập xác định: D = R

• Đạo hàm: y ' = f '(x) = 4ax3 + 3bx2 +2cx + d

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0;d).

• Bảng biến thiên

y ' = 0 ⇔ 4ax3 + 3bx2 +2cx + d = 0

Sử dụng máy tính bỏ túi để giải phương trình bậc ba trên tìm nghiệm. (Ngoài ra chúng ta có thể áp dụng phương pháp giải phương trình bậc ba tổng quát Cardano)

Với x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình 4ax3 + 3bx2 +2cx + d = 0

Xét dấu f ’(x) trên các khoảng xác định.

Kết luận về chiều biến thiên của hàm số.

2. Nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4

∗ Với a > 0 và 4ax3 + 3bx2 +2cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt

∗ Với a > 0 và 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d = 0 có 1 nghiệm duy nhất

∗ Với a < 0 và 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt

∗ Với a < 0 và 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d = 0 có 1 nghiệm duy nhất

3. Khảo sát đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y = f(x) = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

• Tập xác định: D = R

• Đạo hàm: y ' = f '(x) = 4ax3 + 2bx

• Trục đối xứng x = 0 (trục tung)

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0;c).

• Bảng biến thiên

y ' = 0 ⇔ 4ax3 + 2bx = 0

⇔ 2x(2ax2 + b) = 0

⇔

Với x1 và x2 là nghiệm của phương trình

Xét dấu f ’(x) trên các khoảng xác định.

Kết luận về chiều biến thiên của hàm số.

4. Nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Đồ thị

• Trường hợp 1: a > 0

y ’ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị a.b < 0

y ’ = 0 có duy nhất một nghiệm x = 0 ⇔ hàm số có một cực trị a.b ≥ 0

• Trường hợp 2: a < 0

y ’ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị a.b < 0

y ’ = 0 có duy nhất một nghiệm x = 0 ⇔ hàm số có một cực trị a.b ≥ 0

∗ Lưu ý nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương:

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y = f(x) = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

- Nhánh cuối có hướng đi lên ⇒ a > 0 , nhánh cuối có hướng đi xuống ⇒ a < 0

- Giao điểm với trục tung suy ra dấu của c.

- Các cực trị suy ra dấu của b.

5. Bài tập đồ thị hàm số bậc 4

Bài 1: Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

B.

C.

D.

∗ Phương pháp

Sử dụng kết quả điều kiện cần và đủ cho một cực trị của hàm số. Áp dụng vào bài tập này. Ta tính đạo hàm y '. Tìm điều kiện để y ’ = 0 có ba nghiệm phân biệt. Sử dụng tiếp điều kiện để cực trị là âm để loại phương án.

∗ Cách giải

Hàm số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị và các điểm cực trị này đều âm.

Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị thì điều kiện cần là y ’ = 0 có ba nghiệm phân biệt. Khi đó 4ax3 + 2bx = 0 cần có ba nghiệm phân biệt. Ta có

Để 4ax3 + 2bx = 0 có ba nghiệm phân biệt thì phương trình 1 cần có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Do đó

Mặt khác ta lại có y(0) = c nên x = 0 là điểm cực trị thì ta phải có y(0) = c < 0. Do đó đáp án A,C bị loại.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy nên trong trường hợp này a > 0. Và do đó b < 0 (vì ab < 0).

→ Chọn câu B.

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0

B. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -3.

D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -1 và 1.

∗ Phương pháp

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

∗ Cách giải

-Tại x = 0, y ' chuyển dấu từ dương sang âm, đồng thời x = 0 xác định giá trị một giá trị của y = 0 ⇒ Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại x =0 là đúng.

- Hàm số có 3 điểm cực trị ⇒ Đáp án B sai.

- Hàm số không có GTLN ⇒ Đáp án C sai.

- Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -3 ⇒ Đáp án D sai.

→Chọn câu A.

Bài 3: Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

A.

B.

C.

D.

∗ Phương pháp

Quan sát đồ thị để đưa ra tính chất và sau đó loại các phương án sai.

∗ Cách giải

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy do đó ta loại đáp án C, D vì

Hàm số có điểm cực tiểu là Do đó ta loại đáp án B vì hàm số có điểm cực tiểu là (1;0) hoặc (-1;0).

Đáp án A thỏa mãn.

→ Chọn câu A.

Bài 4: Đường cong hình bên là đồ thị một trong 4 hàm số được liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.

B.

C.

D.

∗ Cách giải

Quan sát đồ thị hàm số ta loại bỏ phương án D (hàm số bậc nhất trên bậc nhất).

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, nên ta loại bỏ phương án A (do có nghiệm duy nhất x = 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, nên ta loại bỏ phương án B ( do 1 > 0).

→ Chọn câu C.

Bài 5: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

∗ Phương pháp

Dựa vào dáng điệu hàm số để dự đoán đúng hàm số.

∗ Cách giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị nên hàm số cần tìm là hàm số bậc 4 ⇒ loại đáp án C và D.

Đồ thị hàm số hướng xuống dưới nên hệ số a < 0 ⇒ loại đáp án B.

→ Chọn câu A.

Khi viết về chủ đề đồ thị hàm số bậc 4, tôi đã mong muốn rằng người đọc cần có cái nhìn đúng hơn về hàm số bậc 4, cần phân biệt rõ hàm số bậc 4 với hàm số bậc 4 trùng phương. Hàm số bậc 4 trùng phương chỉ là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc 4 mà khi đó hàm số là hàm số chẵn, nghĩa là f(-a) = f(a) đó là lí do vì sao hai giá trị cực đại hoặc hai giá trị cực tiểu nếu có là bằng nhau. Chúc các bạn học thật tốt nhé! Bạn hãy ghé thăm VOH Giáo Dục để có thêm kiến thức mỗi ngày.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang