Bài 4 trang 147 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O ; R), AB là đường kính. Trên (O) lấy điểm C sao cho AC = R.

a) Tính BC theo R.

b) Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C cắt đườn thẳng AB tại M. Lấy trên (O) điểm D sao cho MD = MC. Chứng minh rằng MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh rằng (M{C^2} = MA.MB).

d) Kẻ đường kính DE của đường tròn (O), ME cắt (O) tại F. Gọi H là giao điểm của CD với MO. Chứng minh rằng : MF.ME = MH.MO.

Lời giải chi tiết

a) Do (C) thuộc đường tròn đường kính (A Rightarrow angle ACB = {90^0} Rightarrow Delta ABC) vuông tại (C) .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông (ABC) ta có:

(B{C^2} = A{B^2} - A{C^2})(, = {left( {2R} right)^2} - {R^2} = 3{R^2})

(Rightarrow BC = Rsqrt 3 ).

b) Xét (Delta OMC) và (Delta OMD) có :

(begin{array}{l}OM,,chungOC = OD = RMC = MD,,left( {gt} right) Rightarrow Delta OMC = Delta OMD,,left( {c.c.c} right) Rightarrow angle OCM = angle ODM = {90^0}end{array})

( Rightarrow MD bot OD) tại (D). Mà (OD) là bán kính của (left( O right)).

Vậy (MD) là tiếp tuyến của (left( O right)).

c) Xét (Delta OAC) có (OA = OC = R) ( Rightarrow Delta OAC) cân tại (O Rightarrow angle OAC = angle OCA).

Mà (angle OAC + angle B = {90^0}) (hai góc nhọn trong tam giác vuông (ABC)).

(angle OCA + angle ACM = angle OCM = {90^0})

( Rightarrow angle ACM = angle B).

Xét (Delta MAC) và (Delta ACB) có :

(begin{array}{l}angle BMC,,chung;angle ACM = angle B,,left( {cmt} right) Rightarrow Delta MAC sim Delta MCB,,left( {g.g} right) Rightarrow dfrac{{MA}}{{MC}} = dfrac{{MC}}{{MB}} Rightarrow M{C^2} = MA.MBend{array})

d) Vì (F) thuộc đường tròn đường kính (DE Rightarrow angle DFE = {90^0} Rightarrow DF bot EF)

(MD) là tiếp tuyến của (left( O right),,left( {cmt} right) Rightarrow MD bot DE).

Xét (Delta MDF) và (Delta MED) có :

(begin{array}{l}angle DME,,chungangle DFM = angle EDM = {90^0} Rightarrow Delta MDF sim Delta MED,,left( {g.g} right) Rightarrow dfrac{{MD}}{{ME}} = dfrac{{MF}}{{MD}} Rightarrow M{D^2} = ME.MFend{array})

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (ODM) ta có : (M{D^2} = MH.MO).

Vậy (MH.MO = MF.ME).

Loigiaihay.com