Giải SBT (Cánh diều) Toán 8 Bài 7: Hình vuông

GIẢI CHI TIẾT SÁCH BÀI TẬP toán lớp 8 Bài 7: Hình vuông - Sách Cánh diều

================

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông

Bài 31 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1 : Cho hình vuôngABCDcó hai đường chéoACvàBDcắt nhau tạiO. Trên tia đối của tiaCBlấy điểmKsao choBC=CK. Từ điểmBkẻ đường thẳng song song vớiACcắt tiaDCtạiE. GọiFlà trung điểm củaBE.

a) Chứng minh các tứ giácBOCFvàBDKEđều là hình vuông.

b) Tứ giácCDOFcó thể là hình vuông không? Vì sao?

Lời giải:

a) Tứ giácABCDlà hình vuông suy raACB^=45∘,OB=OC,BOC^=DOC^=90∘.

Ta có:BOF^=DOC^(hai góc đồng vị) nênOBF^=90∘;CBE^=ACB^(hai góc so le trong) nênCBE^=45∘.

Từ đó ta chứng minh được tam giácBDEvuông cân tạiBvà tam giácBCEvuông cân tạiC. Suy raBD=BEvàBC=EC.

ΔBCF=ΔECF(c.c.c). Suy ra ta tính đượcBFC^=EFC^=90∘

Tứ giácBOCFcóBOC^=OBF^=BFC^=90∘nênBOCFlà hình chữ nhật.

Hình chữ nhậtBOCFcóOB=OCnênBOCFlà hình vuông.

Ta có:BC=CDvàBC=CEnênCD=CE.

Tứ giácBDKEcó hai đường chéoBKvàDEcắt nhau tại trung điểmCcủa mỗi đường nênBDKElà hình bình hành.

Hình bình hànhBDKEcóDBE^=90∘nênBDKElà hình chữ nhật

Hình chữ nhậtBDKEcóBD=BEnênBDKElà hình vuông

b) Tứ giácCDOFcóODC^=45∘nênCDOFkhông thể là hình vuông.

Bài 32 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1 : Cho hình chữ nhậtABCDcó hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các gócAvàBcắt nhau tạiE. Tia phân giác của các gócCvàDcắt nhau tạiF. GọiGlà giao điểm củaAEvàDF,Hlà giao điểm củaBEvàCF. Chứng minh:

a)GH//CD

b) Tứ giácGFHElà hình vuông

Lời giải:

a) DoABCDlà hình chữ nhật nênDAB^=ABC^=BCD^=CDA^=90∘

Mà AE,BE,CF,DFlần lượt là các tia phân giác của các gócDAB,ABC,BCD,CDA

suy ra DAE^=EAB^=ABE^=EBC^=BCF^=FCD^=CDF^=FDA^=45∘

Do đó, các tam giácEAB,FCD,GAD,HBCđều là tam giác vuông cân.

ΔGAD=ΔHBC(g.c.g). Suy raGD=HC. MàFD=FC, suy raFG=FH.

Do đó, tam giácFGHvuông cân tạiF. Suy raFGH^=45∘.

Ta có:FGH^=CDF^=45∘vàFGH^,CDF^nằm ở vị trí đồng vị nênGH//CD.

b)EGF^=AGD^=90∘(hai góc đối đỉnh)

Tứ giácGFHElà hình chữ nhật.

Hình chữ nhậtGFHEcóFG=FHnênGFHElà hình vuông.

Bài 33 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1 : Cho hình bình hànhABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuôngABEFvàADGH(Hình 26). Chứng minh:

a) ΔAHF=ΔADC

b) AC⊥HF.

Lời giải:

GọiKlà giao điểm củaACvàHF

a) Do ABEFvàADGHđều là hình vuông nênBAF^=DAH^=90∘,AH=BA,AH=DA

DoABCDlà hình bình hành nênBA=DC. Suy raAF=DC

Ta chứng minh đượcHAF^+DAB^=180∘vàADC^+DAB^=180∘

Suy raHAF^=ADC^

Xét hai tam giácHAFvàADC, ta có:AH=DA,HAF^=ADC^,AF=DA

Suy raΔHAF=ΔADC(c.g.c)

b) Ta có: HAK^+DAH^+DAC^=CAK^=180∘vàDAH^=90∘nênHAK^+DAC^=90∘

MàAHF^=DAC^(vìΔHAF=ΔADC), suy raHAK^+AHF^=90∘

Trong tam giácAHK, ta có:AKH^+HAK^+AHF^=180∘. Suy raAKH^=90∘

VậyAK⊥HKhaiAC⊥HF.

Bài 34 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1 : Cho tam giácABCcó các đường trung tuyếnBD,CEcắt nhau tạiG. GọiF,Hlần lượt là trung điểm củaBG,CG.

a) Tứ giác EFHDlà hình gì? Vì sao?

b) Tìm điều kiện của tam giác ABCđể tứ giácEFHDlà hình vuông.

Lời giải:

a) Do Glà trọng tâm tam giácABCnênDG=12BG,EG=12CG. MàF,Hlần lượt là trung điểm củaBG,CGnênDG=BF=FG,EG=CH=HG.

Tứ giácEFHGcó hai đường chéoEHvàDFcắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nênEFHGlà hình bình hành.

b) Để hình bình hành EFHGlà hình vuông thìEH=DFvàEH⊥DF

suy raBG=CG,EG=DGvàBD⊥CE.

ΔBEG=ΔCDG(c.g.c). Suy raBE=CD. MàAB=2BE,AC=2CD, suy raAB=AC.

Dễ thấy nếuAB=ACvàBD⊥CEthì tứ giácEFHGlà hình vuông.

Vậy tam giácABCcân tạiAcó đường trung tuyếnBD,CEvuông góc với nhau thì tứ giácEFHGlà hình vuông.

Bài 35 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1 : Cho hình vuôngABCDcóAB=12cm. Trên cạnhCDlấy điểmEsao choDE=5cm. Tia phân giác của gócBAEcắtBCtạiF. Trên tia đối của tiaBClấy điểmMsao choBM=DE.

a) Chứng minh AE=AM=DE

b) Tính độ dài BF.

Lời giải:

a) ΔADE=ΔABM(c.g.c)

Suy raAE=AMvàDAE^=BAM^.

DoAFlà tia phân giác củaBAE^nênEAF^=BAF^.

Suy raDAE^+EAF^=BAM^+BAF^hayDAF^=MAF^.

MàDAF^=MFA^(hai góc so le trong) , suy raMFA^=MAF^

Do đó, tam giácMAFcân tạiM. Suy raAM=FM

MàAE=AM, suy raAE=AM=FM.

b) Trong tam giác ADEvuông tạiD, ta có:AE2=AD2+DE2

Suy raAE=13cm. MàFM=AE, suy raFM=13cm.

Ta có:FM=BM+BF. MàBM=DE=5cmvàFM=13cm, suy raBF=8cm.

Bài 36 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1 : Cho hình vuôngABCD. Lấy điểmEthuộc cạnhCDvà điểmFthuộc tia đối của tiaBCsao choBF=DE.

a) Chứng minh tam giác AEFlà tam giác vuông cân

b) Gọi Ilà trung điểm củaEF. Trên tia đối của tiaIAlấy điểmKsao choIK=IA. Chứng minh tứ giácAEKFlà hình vuông.

c) Chứng minh Ithuộc đường thẳngBD.

Lời giải:

Từ điểmFkẻ đường thẳng song song vớiCDcắt đường thẳngBDtạiM

a) ΔADE=ΔABF(c.g.c)

Suy raAE=AFvàDAE^=BAF^

Suy raDAE^+BAE^=BAF^+BAE^hayBAD^=EAF^.

Do đó,EAF^=90∘

Tam giácAEFcóEAF^=90∘,AE=AFnên tam giacAEFvuông cân tạiA.

b) Tứ giác AEKFcó hai đường chéoAK,EFcắt nhau tại trung điểmIcủa mỗi đường nênAEKFlà hình bình hành

hình bình hànhAEKFcóEAF^=90∘nênAEKFlà hình chữ nhật.

hình chữ nhậtAEKFcóAE=AFnênAEKFlà hình vuông.

c) Do ABCDlà hình vuông nên ta tính đượcCBD^=45∘. MàFBM^=CBD^(hai góc đối đỉnh), suy raFBM^=45∘.

DoMF=CDnênBFM^=BCD^(cặp góc so le trong)

Do đóBFM^=90∘. Ta chứng minh được tam giácnullvuông cân tạiF. Suy raMF=BF. MàBF=DE, suy raMF=DE.

Tứ giác DEMFcóMF=DEvàMF//DE nên DEMFlà hình bình hành.

MàIlà trung điểm củaEF, suy raIlà trung điểm củaDM

VậyIthuộc đường thẳngDMhayIthuộc đường thẳngBD.

============= THUỘC: GIẢI SÁCH BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 8 - Cánh diều