Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

1. Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = f(x)) liên tục trên đoạn ([a;b]); trục hoành và hai đường thẳng (x = a; x = b), thì diện tích (S) được cho bởi công thức:

(S = int_a^b {left| {f(x)} right|} dx) (1)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của (f(x)) trên đoạn ([a,b]). Nếu (f(x)) không đổi dấu trên khoảng ((c;d) ⊂ [a;b]) thì :

(int_c^d {left| {f(x)} right|} dx = left| {int_c^d f (x)dx} right|)

Chẳng hạn ta có:

(int_a^b {left| {f(x)} right|} dx = left| {int_a^{{c_1}} f (x)dx} right| + left| {int_{{c_1}}^{{c_2}} f (x)dx} right| )(+ left| {int_{{c_2}}^{{c_3}} f (x)dx} right| + left| {int_{{c_3}}^b f (x)dx} right|)

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (y = {rm{ }}{f_1}left( x right)) và (y = {rm{ }}{f_2}left( x right)) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng ( x = a, x = b) thì diện tích (S) được cho bởi công thức :

(int_a^b {left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} right|} dx) (2)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu (fleft( x right) = ;{f_1}left( x right){rm{ }}; - {rm{ }}{f_2}left( x right)) trên đoạn ([a;b]) hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng ((a;b)), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình: ({f_1}left( x right){rm{ }}; - {rm{ }}{f_2}left( x right){rm{ }} = {rm{ }}0), tìm các nghiệm ({x_i}; in {rm{ }}left( {a;b} right))

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

[{x_{1;}} < {rm{ }}{x_2}; < {rm{ }} ldots {rm{ }} < {rm{ }}{x_{n.}}]

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

(S = int_a {^b} left| {f(x)} right|dx = left| {int_a^{{x_1}} f (x)dx} right| + left| {int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} right| + ... + left| {int_{{x_n}}^b f (x)dx} right|)

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng (x = a, x = b) thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi ({x_1}), b được thay thế bởi ({x_n}).

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi (y{rm{ }} = {rm{ }}{f_1}left( x right) = {rm{ }}0) hoặc (y{rm{ }} = {rm{ }}{f_2}left( x right){rm{ = }}0)

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số (;x{rm{ }} = {rm{ }}{g_1}left( y right),;x{rm{ }} = {rm{ }}{g_2}left( y right)) liên tục trên đoạn ([c;d]) và hai đường thẳng (y = c, y = d) có diện tích được cho bởi công thức: $$S = int_c^d {left| {{g_1}(y) - {g_2}(y)} right|} dy$$

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ (x = a, x = b (a<b)). (S(x)) là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể được cho bởi công thức: (V = int_a^b S (x)dx) (với (S(x)) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn ([a;b])).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục (Ox): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = f(x)) không âm và liên tục trên đoạn ([a;b]), trục (Ox) và hai đường thẳng (x = a, x = b) quay quanh trục (Ox), ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích ({V_x}) của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $${V_x} = pi {int_a^b {left[ {f(x)} right]} ^2}dx.$$

b) Hình phẳng quay quanh trục (Oy) (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số (x = g(y)) không âm và liên tục trên đoạn ([c;d]), trục (Oy) và hai đường thẳng (y = c, y = d) quay quanh trục (Oy), ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $${V_y} = pi {int_c^d {left[ {g(y)} right]} ^2}dy.$$

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng (x = a), (x = b) và đồ thị hàm số (y{rm{ }} = {rm{ }}{f_1}left( x right),{rm{ }}y{rm{ }} = {rm{ }}{f_2}left( x right)) liên tục và (0; le ;;{f_1}left( x right); le {rm{ }}{f_2}left( x right)) trên đoạn ([a;b]) quay quanh trục (Ox) được cho bởi công thức: $${V_x} = pi int_a^b {left[ {{{({f_2}(x))}^2} - {{({f_1}(x))}^2}} right]} dx$$

Tương tự, đổi vai trò (x) và (y) cho nhau, ta có công thức tính ({V_y}) (khi hình phẳng quay quanh trục (Oy)).

Loigiaihay.com