Công thức lượng giác và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

• Lý thuyêt bài tập Công thức lượng giác
• Các dạng bài tập Công thức lượng giác
• Bài tập tự luyện Công thức lượng giác

Công thức lượng giác và cách giải bài tập

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

1. Lý thuyết

a. Công thức cộng:

sin(a+b)  =  sina.cosb  +  sinb.cosa

sin(a−b)  =  sina.cosb−sinb.cosa

cos(a+b)  =  cosa.cosb  −  sina.sinb

cos(a−b)  =  cosa.cosb +  sina.sinb

tan(a+b)  =  tana+tanb1−tana.tanb

tan(a−b)  =  tana−tanb1+tana.tanb

b. Công thức nhân đôi, hạ bậc:

* Công thức nhân đôi:

sin2α=2sinα.cosα

cos2α  =  cos2α−sin2α  =  2cos2α−1  =  1−2sin2α

tan2α  =  2tanα1−tan2α

* Công thức hạ bậc:

sin2α  =  1−cos2α2cos2α =  1+cos2α2tan2α =  1−cos2α1+cos2α

* Công thức nhân ba:

sin3α=3sinα−4sin3αcos3α=4cos3α−3cosα

c. Công thức biến đổi tích thành tổng:

cosacosb=12cos(a+b)+cos(a−b)sinasinb=−12cos(a+b)−cos(a−b)sinacosb=12sin(a+b)+sin(a−b)

d. Công thức biển đổi tổng thành tích:

cosa+cosb  =  2cosa+b2.cosa−b2

cosa−cosb  =  −2sina+b2.sina−b2

sina+sinb  =  2sina+b2.cosa−b2

sina−sinb  =  2cosa+b2.sina−b2

tana+tanb  =   sin(a+b)cosa.cosb

tana−tanb  =  sin(a−b)cosa.cosb

cota+cotb  =  sin(a+b)sina.sinb

cota−cotb  =  sin(b−a)sina.sinb

2. Các dạng bài

Dạng 3.1: Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt

a. Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc.

- Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.

- Sử dụng các công thức lượng giác.

b. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính:

a. cos37π12;

b. tanπ24+tan7π24.

Lời giải:

a. cos37π12=cos2π+π+π12

=cosπ+π12

=−cosπ12

=−cosπ3−π4

=−cosπ3.cosπ4+sinπ3.sinπ4

=−6+24

b.tanπ24+tan7π24=sinπ3cosπ24.cos7π24

=3cosπ3+cosπ4=26−3

Ví dụ 2: Tính:

a. tanx+π4 biết sinx=35 với π2<x<π;

b. cosα−β biết sinα=513, π2<α<π và , 0<β<π2.

Lời giải:

a. Ta có:

sin2x+cos2x=1⇒cosx=±1−sin2x=±1−925=±45 .

Vì π2<x<π nên cosx=−45

Do đó tanx=sinxcosx=−34.

Ta có: tanx+π4=tanx+tanπ41−tanx.tanπ4=−34+11+34=17.

b. Ta có:

sinα=513, π2<α<π nên cosα=−1−5132=−1213.

cosβ=35, 0<β<π2 nên sinβ=1−352=45.

cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ =−1213.35+513.45=−1665 .

Dạng 3.2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:a. sin4x+cos4x= 14cos4x+34b. cos3x.sin3x+sin3x.cos3x=34sin4x

Lời giải:

a. (Áp dụng công thức hạ bậc) Ta có:

VT=sin4x+cos4x

=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x

=1−12sin22x=1−12.1−cos4x2

=34+14cos4x=VP

Suy ra đpcm.

b. (Áp dụng công thức góc nhân ba) Ta có:

VT= 14cos3x3sinx−sin3x+ 14sin3x3cosx+cos3x

 =34sinx.cos3x+cosx.sin3x=34sin4x=VP

Suy ra đpcm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

sin3B2cosA+C2+cos3B2sinA+C2−cos(A+C)sinB.tanB=2

Lời giải:

Do tam giác ABC có A+B+C=1800, suy ra A+C=1800−B

Do đó, ta có:

VT=sin3B2cos1800−B2+cos3B2sin1800−B2−cos1800−BsinB.tanB

=sin3B2sinB2+cos3B2cosB2−−cosBsinB.tanB

=sin2B2+cos2B2+1=2=VP

Suy ra đpcm.

Dạng 3.3: Thu gọn biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

a. A=cos10x+2cos24x+6cos3x.cosx−cosx−8cosx.cos33x

b. B=sin3x+cos2x−sinxcosx+sin2x−cos3xsin2x≠0;2sinx+1≠0

Hướng dẫn:​

a. Ta có:

A=cos10x+(1+cos8x)−cosx−2(4cos33x−3cos3x)cosx

=(cos10x+cos8x)+1−cosx−2cos9x.cosx

=2cos9x.cosx+1−cosx−2cos9x.cosx=1−cosx

b. Ta có:

B=sin3x+cos2x−sinxcosx+sin2x−cos3x

=2cos2xsinx+cos2x−2sin2xsin(−x)+sin2x

=2cos2xsinx+cos2x2sin2xsinx+sin2x

=cos2x(1+2sinx)sin2x(1+2sinx)=cot2x

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: C=sin2x+2sina-x.sinx.cosa+sin2a-x.

Lời giải:

C=sin2x+2sina-x.sinx.cosa+sin2a-x

=sin2x+sina−x2sinxcosa+sina−x

=sin2x+sina−x2sinxcosa+sinacosx−cosasinx

=sin2x+sina−xsinxcosa+sinacosx

=sin2x+sina−xsina+x=sin2x+12cos2x−cos2a

=sin2x+121−2sin2x−(1−2sin2a)

=sin2x+sin2a−sin2x=sin2a

Dạng 3.4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

a. Phương pháp giải:

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là sau khi rút gọn biểu thức ta được kết quả không chứa biến. Do đó, để giải dạng toán này, ta sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn. Nếu biểu thức sau khi thu gọn không chứa biến, ta suy ra điều phải chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A=cos2x+cos2π3+x+cos2π3−x

Lời giải:

Ta có:

A=cos2x+cos2π3+x+cos2π3−x

=cos2x+12cosx−32sinx2+12cosx+32sinx2

= cos2x+14cos2x−32cosxsinx+34sin2x+14cos2x+32cosxsinx+34sin2x

=32cos2x+32sin2x

=32cos2x+sin2x

=32

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

C=2sin4x+cos4x+sin2xcos2x2-sin8x+cos8x

Lời giải:

Ta có:

C=2sin4x+cos4x+sin2xcos2x2-sin8x+cos8x

=2sin2x+cos2x2−sin2xcos2x2-sin4x+cos4x2−2sin4xcos4x

=21−sin2xcos2x2-sin2x+cos2x2−2sin2xcos2x2+2sin4xcos4x

=21−sin2xcos2x2-1−2sin2xcos2x2+2sin4xcos4x

=21−2sin2xcos2x+sin4xcos4x-1−4sin2xcos2x+4sin4xcos4x+2sin4xcos4x

= 2 - 4sin2x cos2x + 2sin4x cos4x - 1 + 4sin2x cos2x - 4sin4x cos4x + 2sin4x cos4x

=1.

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Dạng 3.5: Tính giá trị biểu thức

a. Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức cơ bản, các công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: A=cos10°.cos30°.cos50°.cos70°.

Lời giải:

Ta có:

A=cos10°.cos30°.cos50°.cos70°

=cos10°.cos30°.12cos120o+cos20o

=cos10o.32.12−12+cos20o

=34−cos10o2+cos10ocos20o

=34−cos10°2+cos30°+cos10°2

=34.cos30°2

=34.34=316

Ví dụ 2: Cho cos2α=23. Tính giá trị của biểu thức P=cosα.cos3α.

Lời giải:

Ta có:

P=cosα.cos3α=12cos2α+cos4α

=12cos2α+2cos22α−1

=122cos22α+cos2α−1

=122.232+23−1=518

3. Bài tập tự luyện

a. Tự luận

Câu 1: Cho x+y+z=π, chứng minh rằng: tanx + tany + tanz = tanx . tany . tanz.

Lời giải:

Từ giả thiết, ta có:

x+y+z=π⇔x+y=π−z

⇒tanx+y=tanπ−z

⇔ tanx+tany1−tanx.tany=−tanz

⇔tanx+tany=−tanz+tanx.tany.tanz

⇔tanx+tany+tanz=tanx.tany.tanz

Suy ra đpcm.

Câu 2: Cho sinx+siny=2sinx + y, với x+y≠kπ, k∈ℤ. Chứng minh rằng: tanx2.tany2 = 13.

Lời giải:

Từ giả thiết, ta có:

sinx+siny=2sinx+y⇔2sinx+y2.cosx−y2 =4sinx+y2.cosx+y2

⇔cosx−y2=2cosx+y2 (do x+y≠kπ,k∈ℤ)

⇔cosx2.cosy2 +sinx2.siny2 =2cosx2.cosy2 −sinx2.siny2

⇔3sinx2.siny2=cosx2.cosy2 ⇔tanx2.tany2 = 13

Suy ra đpcm.

Câu 3: Cho sinα=13 với 0<α<π2. Tính giá trị của cosα+π3.

Lời giải:

Ta có: sin2α+cos2α=1⇒cos2α=23⇒cosα=63 (vì 0<α<π2 nên cosα>0).

Ta có: cosα+π3=12cosα−32sinα

=12⋅63−32⋅13=16−12=2−626

Câu 4: Tính giá trị biểu thức M=cos-53°.sin-337°+sin307°.sin113°.

Lời giải:

M=cos-53°.sin-337°+sin307°.sin113°

=cos-53°.sin23°-360°+sin−53°+360°.sin90°+23°

=cos-53°.sin23°+sin−53°.cos23°

=sin23°−53°=−sin30°=−12

Câu 5: Cho số thực α thỏa mãn sinα=14. Tính sin4α+2sin2αcosα.

Lời giải:

Ta có: sin4α+2sin2αcosα

=2sin2αcos2α+2sin2αcosα

=2sin2αcos2α+1cosα

=4sinαcosα1−2sin2α+1cosα

=4sinαcos2α(2−2sin2α)

=4sinα1−sin2α2−2sin2α

=81−sin2α2sinα

=81−1162.14=225128

Câu 6: Rút gọn biểu thức P=cosa+2cos3a+cos5asina+2sin3a+sin5a.

Lời giải:

P=cosa+2cos3a+cos5asina+2sin3a+sin5a

=2cos3acos2a+2cos3a2sin3acos2a+2sin3a

=2cos3acos2a+12sin3acos2a+1

=cos3asin3a=cot3a

Câu 7: Chứng minh biểu thức A=1−tan2x24tan2x−14sin2xcos2x không phụ thuộc vào x.

Lời giải:

Ta có: A=1−tan2x24tan2x−14sin2xcos2x

=1−tan2x24tan2x−14tan2x⋅1cos2x2

=1−tan2x24tan2x−1+tan2x24tan2x

=1−tan2x2−1+tan2x24tan2x

=−4tan2x4tan2x=−1

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Câu 8: Rút gọn biểu thức A=2cos22α+3sin4α−12sin22α+3sin4α−1 .

Lời giải:

Ta có:

A=2cos22α+3sin4α−12sin22α+3sin4α−1

=cos4α+3sin4α3sin4α−cos4α

=12cos4α+32sin4α32sin4α−12cos4α

=sin4α+30°sin4α−30°

Câu 9: Biến đổi biểu thức sinα−1 thành tích các biểu thức.

Lời giải:

Ta có:

sinα−1=sinα−sinπ2

=2cosα+π22sinα−π22

=2cosα2+π4sinα2−π4.

Câu 10: Biết sinβ=45, 0<β<π2 và α≠kπ. Chứng minh biểu thức: A=3sinα+β−4cosα+β3sinα không phụ thuộc vào α.

Lời giải:

Ta có 0<β<π2sinβ=45⇒cosβ=35

A=3sinα+β−4cosα+β3sinα

=3(sinαcosβ+cosαsinβ)−4(cosαcosβ−sinαsinβ)3sinα

=335sinα+45cosα−435cosα−45sinα3sinα

=5sinα3sinα=53

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến α.

b. Trắc nghiệm

Câu 1: Kết quả nào sau đây sai?

A. sinx+cosx=2sinx+π4

B. sinx−cosx=−2cosx+π4

C. sin2x+cos2x=2sin2x−π4

D. sin2x+cos2x=2cos2x−π4

Câu 2: Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. cot2x=cot2x−12cotx

B. tan2x=2tanx1+tan2x

C. cos3x=4cos3x−3cosx

D. sin3x=3sinx−4sin3x

Câu 3: Nếu sinx+cosx=12 thì sin2x bằng

A. 34.

B. 38.

C. 22.

D. −34.

Câu 4: Cho hai góc nhọn a và b. Biết cosa=13, cosb=14. Giá trị cosa+b.cosa−b bằng:

A. −113144.

B. −115144.

C. −117144.

D. −119144.

Câu 5: Cho cosx=0. Tính A=sin2x−π6+sin2x+π6.

A. 32.

B. 2.

C. 1.

D. 14.

Đáp án:

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

C

B

D

D

A

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ và cách giải
• Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập
• Hệ thức lượng trong tam giác và cách giải bài tập
• Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và cách giải bài tập
• Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều