Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (siêu hay)

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (siêu hay)

1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm Mo(xo; yo; zo) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

(A2 + B2 + C2 > 0) được tính theo công thức:

d(Mo, (P)) = |Axo+Byo+Czo+D|A2+B2+C2.

2. Ví dụ minh họa tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ A(3; 0; −1) đến các mặt phẳng sau:

a) (P): x + 2y - z + 2 = 0;

b) (Q): 2x - y + 3z - 2 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có d(A, (P)) = |1.3+2.0−1.(−1)+2|12+22+(−1)2 = 6.

b) Ta có d(A, (Q)) = |2.3−1.0+3.(−1)−2|22+(−1)2+32 = 1414.

Ví dụ 2. Cho điểm I(2; 1; −3) và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z + m = 0. Tìm m để khoảng cách từ I đến (P) bằng 7.

Hướng dẫn giải

Ta có: d(I, (P)) = |2.2−1.1+2.(−3)+m|22+(−1)2+22 = |m−3|3 = 7.

⇒ |m - 3| = 21.

TH1: m - 3 = 21 ⇒ m = 21 + 3 hay m = 24.

TH2: m - 3 = −21 ⇒ m = −21 + 3 hay m = −18.

Vậy m ∈ {−18; 24}.

3. Bài tập tự luyện tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Bài 1. Cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z - 3 = 0 và điểm A(2; 4; −1). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

Bài 2. Cho mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 2 = 0 và (Q): 2x - 4y + 6z + 3 = 0.

a) Chứng minh rằng (P) //(Q).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 3.

Tính chiều cao của tứ diện ABCD biết A(5; 0; 1), B(1; 1; 1), C(2; 3; 4), D(5; 2; 3).

Bài 4.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x - y + 2z - m = 0 và điểm A(2; 3; 2). Tìm m để khoảng cách từ A đến (Q) bằng 4.

Bài 5.

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): x - 2 = 0 và (Q): x - 9 = 0.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

• Công thức viết phương trình đường thẳng

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức viết phương trình mặt cầu

• Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu