Lý thuyết nhị thức Niu - Tơn

I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

1. Công thức nhị thức Niu - Tơn

Với (a, b) là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên (n ≥ 1), ta có:

({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... +)

(C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}(1))

Ví dụ:

Viết khai triển ({left( {a + b} right)^5}).

Hướng dẫn:

Ta có:

({left( {a + b} right)^5})

( = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2}) ( + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5})

( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2}) ( + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^5} + {b^5})

2. Quy ước

Với (a) là số thực khác (0) và (n) là số tự nhiên khác (0), ta quy ước:

(a^0 = 1); (a^{-n}= {1 over {{a^n}}}).

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện (a) và (b) đều khác (0), có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

({left( {a + b} right)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = sumlimits_{k = 0}^n {{a^k}{b^{n - k}}} } )

Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.

II. Tam giác Pa-xcan

1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng

2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan

- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng (1).

- Xét hai số ở cột (k) và cột (k + 1), đồng thời cùng thuộc dòng (n), ((k ≥ 0; n ≥1)), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột (k + 1) và dòng (n + 1).

3. Tính chất của tam giác Pa-xcan

Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng (n) và cột (k) là (C_n^k)

b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:

(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1})

c) Các số ở dòng (n) là các hệ số trong khai triển của nhị thức ({(a + b)}^n) (theo công thức nhị thức Niu - Tơn), với (a, b) là hai số thực tùy ý.

Chẳng hạn, các số ở dòng (4) là các hệ số trong khai triển của ((a + b)^4) (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:

({left( {a{rm{ }} + {rm{ }}b} right)^4} )(= {rm{ }}{a^4} + {rm{ }}4{a^3}b{rm{ }} + {rm{ }}6{a^2}{b^{2}} + {rm{ }}4a{b^3}{rm{ }} + {rm{ }}{b^4})

Loigiaihay.com