Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Chứa Căn Thức: Phương Pháp Và Bài Tập

1. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn và ví dụ minh họa

1.1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số là gì

Cho hàm số y= f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

• Hàm số y=f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu:

• Hàm số y=f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

1.2 Lưu ý khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn

Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn cần phải tìm điều kiện xác định của hàm số dưới căn thức và áp dụng một lần nữa ở bước cuối.

Phương pháp dùng để xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn gồm có các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định (xét sao cho phần trong căn lớn hơn 0).

Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x) của căn thức.

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị làm hàm số không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

Ví dụ:

Bài tập 1: Tìm khoảng đồng biến của hàm số sau .

A. (-∞;0)

B. (0;2)

C. (0;+∞)

D. (2;+∞)

=> CHỌN D

Bài giải:

Ta có tập xác định của hàm số đã cho là . Tập xác định: D = (-∞;0]∪[2;+∞).

Lại có

=> Hàm số không có đạo hàm tại: x = 0 và x = 2.

Ta có y'=0

Có bảng biến thiên:

Từ đó, ta thấy hàm số đồng biến trên (2;+∞).

Bài tập 2: Tìm khoảng đồng biến của hàm số

A.

B.

C.

D.

=> CHỌN C

Bài giải:

Tập xác định của hàm số khi đúng

Vậy tập xác định D = R

Ta có:

Ta có bảng biến thiên:

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập trọn bộ kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia

2. Một số bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số chứa căn (có đáp án)

Bài 1: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

A. (0;1).

B. (-∞;1).

C. (1;2).

D. (1;+∞).

=> CHỌN C

Bài giải:

Ta có tập xác định D = [0;2]

Lại có

Ta có bảng biến thiên:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2)

Bài 2: Cho hàm số . Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+∞).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;3).

=> CHỌN A

Ta có tập xác định D = (-;1][5;+)

Lại có

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

Bài 3: Cho hàm số . Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số có đồng biến trên khoảng (0;+∞).

B. Hàm số đồng biến trên (-∞;+∞)

C. Hàm số có đồng biến trên khoảng (1;+∞).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞).

=> CHỌN C

Ta có tập xác định D =

Có

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞).

Bài 4: Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào?

A. (2;+∞)

B. (-∞;3)

C. (-∞;1)

D. (3;+∞)

=> CHỌN D

Ta có tập xác định

Lại có y'=x-2x2-4x+3;x(-;1)(1;+)

y'>0 x-2x2-4x+3>0x>2

Kết hợp tập xác định của hàm số, suy ra khoảng đồng biến của hàm số là (3;+∞)

Bài 5: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. và

B.

C.

D.

=> CHỌN D

Tập xác định D =

Ta có:

Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên

Bài 6: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số ?

A. (1;2) và

B.

C.

D.

=> CHỌN C

Ta có tập xác định 2

Ta có 2

Có y'=0

Suy ra

Kết hợp với điều kiện ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;2) và (2;+∞)

Bài 7: Cho hàm số . Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (5;9)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (5;9)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;9)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;9)

=> CHỌN B

Tập xác định của hàm số: D = [1: 9]

Ta có:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (5;9).

Bài 8: Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên R?

A. y=tanx

B.

C.

D.

=> CHỌN C

Ta có: Hàm số y = tan⁡x đồng biến trên mỗi khoảng , k ∈ Z nên loại A.

Hàm số có với ∀x ≠ -1 nên loại B.

Hàm số có TXĐ: D = R

Có

Nên hàm số đồng biến trên R.

Bài 9: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A.

B. y=sinx

C.

D.

=> CHỌN D

• Bỏ đáp án A:

Tập xác định: D = R, (*).

Phương trình (*) luôn có một nghiệm nên hàm số không đồng biến trên R.

• Bỏ đáp án B: y = sin⁡x luôn đồng biến trên mỗi khoảng , nghịch biến trên mỗi khoảng nên hàm số không đồng biến trên R.

• Bỏ đáp án C: . TXĐ: D = R{-1}. ∀ x ≠ -1 ⇒ hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (-∞;-1) và (-1;+∞).

• Chọn đáp án D: . TXĐ: D = R. ∀x ∈ R

⇒ Suy ra: hàm số luôn đồng biến trên R.

Bài 10: Tìm khoảng tất cả các giá trị thực của m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.

A.

B.

C.

D.

=> CHỌN A

Ta có (1)

Xét hàm số: trên R

Ta có

Ta có bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên ta có phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:

Bài 11:

A.

B.

C.

D.

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi sớm hiệu quả, phù hợp nhất với bản thân

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thường gặp. Để đạt được kết quả như mong muốn, các em hãy đầu tư thời gian luyện tập thêm nhiều dạng bài khác nữa. Em có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết