Cấp số cộng là gì? Cẩm nang cấp số cộng 2023

Trong chương trình Đại số của Toán học lớp 11 cấp số cộng là phần kiến thức quan trọng có tính ứng dụng cao. Vì vậy các em học sinh cần tìm hiểu, học tập để nắm chắc phần kiến thức này để vượt qua các kỳ thi và đạt điểm số tốt. Cùng The Dewey Schools tìm hiểu các thông tin cần thiết và cách giải của bài tập về cấp số cộng trong nội dung dưới đây các em học sinh nhé.

Định nghĩa cấp số cộng là gì?

Định nghĩa cấp số cộng là 1 dãy số vô hạn hoặc hữu hạn các số hạng thỏa mãn điều kiện: kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước cộng với 1 số không đổi. Số hạng cộng không đổi đó gọi là công sai kí hiệu là d.

Công thức cấp số cộng: Un = Un-1 + d

Trong đó:

• Un: cấp số cộng
• d: công sai
• n >= 2, n ∈ N*

Ví dụ:

• Dãy số tự nhiên 3, 5, 7, 9, 11, 13…. là cấp số cộng có công sai d = 2
• Dãy hằng số với các số hạng không đổi là cấp số cộng có công sai d = 0

Xem thêm: Tổng hợp các kiến thức Đạo hàm đầy đủ từ A - Z

Tính chất cấp số cộng

Tính chất công thức cấp số cộng lớp 11: Nếu Un là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2 đều là trung bình cộng của 2 số hạng đứng kế bên trong dãy số, trừ trường hợp số hạng cuối trong cấp số cộng hữu hạn.

Công thức: Un = (Un-1 + Un+1) : 2

Ví dụ:

Trong cấp số cộng có 3 số hạng liên tiếp là 13, 16, 19

Thì Un = (13 + 19) : 2

=> Un = 16

Xem thêm: [2023 Update] Tổng hợp công thức lượng giác lớp 10, 11

Tính công sai cấp số cộng

Công thức tính công sai cấp số cộng như sau: d = Un+1 - Un

Ví dụ:

Cho cấp số cộng 1, 4, 7, 10, 13… Tính công sai cấp số cộng?

Đáp án:

Công sai cấp số cộng là d = 4 - 1 = 7 - 4 = 10 - 7 = 13 - 10…= 3

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử U1, công sai cấp số cộng là d, thì số hạng thứ n (số hạng tổng quát) của cấp số cộng này được như sau:

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: Un = U1 + (n-1) d

Ví dụ:

Cho cấp số cộng: 4, 9, 14, 19… Biết dãy số của cấp số cộng có 9 số hạng, tìm số hạng thứ 9?

Đáp án:

Công sai cấp số cộng d = 9 - 4 = 5

Áp dụng công số hạng tổng quát của cấp số cộng: Un = U1 + (n-1) d

=> Số hạng thứ 9 của cấp số cộng là: U9 = 4 + (9 - 1) 5

=> U9 = 44

Số hạng thứ 9 của cấp số cộng là 44

Xem thêm: Tổng hợp kiến thức công thức hạ bậc lượng giác không thể bỏ qua

Xem thêm: Tuyển tập kiến thức công thức lượng giác lớp 10 đầy đủ nhất

Tổng hợp các công thức cấp số cộng lớp 11

Trong chương trình Đại số của chương trình Toán học lớp 11 học sinh cần nắm vững kiến thức cấp số cộng để có thể áp dụng trong việc giải nhiều bài toán. Chúng tôi đã tổng hợp 5 công thức cấp số cộng cơ bản và thường xuyên sử dụng nhất để giúp các em thuận lợi trong quá trình tìm hiểu bài học của mình.

1. Công thức cấp số cộng cơ bản

Công thức cấp số cộng lớp 11 cơ bản theo định nghĩa: Xét Un là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức cấp số cộng là:

Un = Un-1 + d

Trong đó:

• Un: cấp số cộng
• d: công sai
• n >= 2, n ∈ N*

2. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng sử dụng số hạng đầu và công sai d:

Un = U1 + (n - 1) d

Trong đó:

• Un: cấp số cộng
• U1: số hạng đầu tiên của cấp số cộng
• d: công sai

3. Công thức cấp số cộng hai số liền kề

Công thức cấp số cộng Un của 2 số liền kề với số hạng trước là Un-1 và số hạng liền kề sau là Un+1 được tính như sau:

Un = (Un-1 + Un+1) : 2

Trong đó:

• Un: cấp số cộng
• Un-1: số hạng liền kề trước
• Un+1: số hạng liền kề sau

4. Công thức cấp số liên hệ giữa 2 số bất kỳ

Công thức cấp số liên hệ giữa 2 số bất kỳ:

Un = Um + (n-m) d

Trong đó:

• Un: cấp số cộng
• Um: số m bất kỳ trong cấp số cộng
• d: công sai

5. Công thức tổng cấp số cộng

Công thức 1: Công thức tổng cấp số cộng của n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng thứ n và số hạng đầu:

Sn = U1 + U2 + U3 +… + Un = n (U1 + Un)/2

Trong đó:

• Sn: tổng cấp số cộng
• Un: cấp số cộng

Công thức 1: Công thức tổng cấp số cộng của n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua công sai d và số hạng đầu:

Sn = n . U1 + n (n-1)/2 . d

• Sn: tổng cấp số cộng
• Un: cấp số cộng
• d: công sai

Cách giải bài toán cấp số cộng nhanh gọn, chính xác

Từ các công thức cấp số cộng đã được học, chúng ta có thể áp dụng để giải các bài toán cấp số cộng một cách nhanh gọn, chính xác. Dưới đây The Dewey Schools mời các em học sinh cùng ôn lại kiến thức thông qua các dạng bài tập điển hình nhé.

Dạng 1: Giải bài toán cấp số cộng áp dụng công thức cơ bản

Bài tập 1: Cho dãy số 5, 11, 17, 21, 27. Đây có phải là cấp số cộng không? Tính công sai?

Đáp án:

Dãy số 5, 11, 17, 21, 27 có công sai là:

11 = 5 + 6

17 = 11 + 6

21 = 17 + 6

27 = 21 + 6

=> Do công sai d không đổi nên dãy số 5, 11, 17, 21, 27 là cấp số cộng có công sai d = 6 và số hạng đầu tiên U1 = 5, số hạng cuối cùng U5 = 27

Bài tập số 2: Cho dãy số 100, 105, 108, 117, 129. Dãy số này có phải là cấp số cộng không? Tính công sai?

Đáp án:

Tính công sai dãy số 100, 105, 108, 117, 129:

105 = 100 + 5

108 = 105 + 3

117 = 108 + 9

129 = 117 + 12

Do công sai của dãy số có sự thay đổi nên dãy số 100, 105, 108, 117, 129 không phải là cấp số cộng.

Dạng 2: Giải bài tập cấp số cộng áp dụng công thức tìm số hạng tổng quát

Bài tập 1: Cho cấp số cộng Un trong đó U1 = 3, công sai d = 8. Tìm số hạng tổng quát?

Đáp án:

Áp dụng công thức tìm số hạng tổng quát:

Un = U1 + (n - 1) d

=> Un = 3 + (n - 1) 8

=> Un = 8n - 5

Số hạng tổng quát của cấp số cộng có U1 = 3, d = 8 là Un = 8n - 5

Bài tập 2: Cho cấp số cộng Un trong đó Un = 14n - 6. Tính S100

Đáp án:

Áp dụng công thức tìm số hạng tổng quát ta có:

=> Số hạng đầu: U1 = 14 . 1 - 6 = 8

=> Số hạng thứ 2: U2 = 14. 2 - 6 = 22

=> Công sai: d = 22 - 8 = 14

Áp dụng công thức:

Sn = n . U1 + n (n-1)/2 . d

=> S100 = 100 . 8 + 100 . 99/2 . 14

=> S100 = 70100

Dạng 3: Tính số hạng bất kì của cấp số cộng

Bài tập: Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng Un, trong đó có số hạng thứ nhất U1 = 2, công sai d = 4.

Đáp án:

Áp dụng công thức tổng cấp số cộng của n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua công sai d và số hạng đầu:

Sn = n . U1 + n (n-1)/2 . d

=> S15 = 15 . 2 + 15 (15 - 1)/2 . 3

=> S15 = 30 + 105 . 3

=> S15 = 345

Số hạng thứ 15 của cấp số cộng U15 trong đó có số hạng thứ nhất U1 = 2, công sai d = 4 là U15 = 345

Dạng 4: Tính công sai của cấp số cộng

Bài tập: Cho cấp số cộng có 25 số, trong đó số hạng đầu tiên U1 = 3, tổng 25 số hạng đầu tiên là 1275. Tính công sai d của cấp số cộng này?

Đáp án:

Theo đề bài ta có: S25 = 1275

Áp dụng công thức tổng cấp số cộng của n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng thứ n và số hạng đầu:

Sn = U1 + U2 + U3 +… + Un = n (U1 + Un)/2

=> S25 = 25 (U1 + U25)/2

=> 1275 = 25 (3 + U25)/2

=> 99 = U25

Áp dụng công thức:

Sn = n . U1 + n (n-1)/2 . d

=> 1275 = 25 . 3 + 25 (25 - 1)/2 . d

=> 1200 = 300 . d

=> d = 4

Công sai của cấp số cộng d = 4

Dạng 5: Cho thông tin cấp số cộng, tìm số hạng đầu của cấp số cộng

Bải tập: Cho cấp số cộng Un thỏa mãn điều kiện: U1 + U5 = 12, U10 - U2 = 16. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng Un.

Đáp án:

Theo đề bài ta có:

U1 + U5 = 12

=> U1 + U1 + 4d = 12

=> U1 = 6 - 2d

U10 - U2 = 16

=> 8d = 16

=> d = 2

=> U1 = 6 - 2 . 2

=> U1 = 2

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng U1 = 1

Dạng 6: Áp dụng cấp số cộng trong tính toán trên thực tế

Bài tập: Một đơn vị có đãi ngộ lương cho công nhân như sau:

• Lương quý đầu tiên của công nhân là 12 triệu đồng/ quý
• Lương từ quý thứ 2 tăng lên 1 triệu đồng/ quý

Hãy tính lương của công nhân sau 5 năm làm việc tại đơn vị?

Đáp án:

Áp dụng công thức cấp số cộng ta có:

Công nhân làm cho xưởng n quý

Quý đầu tiên là U1 = 12

Quý tiếp theo là Un+1 = Un + 1 (∀n ≥ 1)

Theo dữ liệu đề bài mức lương công nhân mỗi quý là cấp số cộng Un trong đó lương quý sau hơn quý trước là 1 triệu => công sai của cấp số cộng d = 1

Trong 1 năm có 4 quý => 5 năm có 5 . 4 = 20 quý

=> Lương của công nhân sau 5 năm làm việc là 20 quý (U20).

=> Lương tháng quý 20 của công nhân áp dụng công thức:

Un = U1 + (n - 1) d

=> U20 = 12 + 19 . 1 = 21 triệu đồng

Tổng lương công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại cơ sở là:

Sn = n . U1 + n (n-1)/2 . d

=> S20 = 20 . 12 + 20 (20 - 1)/2 . 1

=> S20 = 430

Tổng lương công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại cơ sở là 430 triệu đồng.

Trên đây là những kiến thức cơ bản và một số dạng bài tập thường gặp về cấp số cộng. The Dewey Schools hy vọng thông qua nội dung này các em học sinh có thể nắm chắc kiến thức để vận dụng giải các bài tập cấp số cộng một cách chính xác. Đừng quên theo dõi chúng tôi để liên tục cập nhật các nội dung khác nhau trong chương trình toán học các cấp nhé.