Lý thuyết đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau.

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ví dụ:

Hai đường thẳng (y=3x+1) và (y=3x-6) có hệ số (a=a'(=3)) và (bne b') ((1ne -6)) nên chúng song song với nhau.

Hai đường thẳng (y=3x+1) và (y=3x+1) có hệ số (a=a'(=3)) và (b= b'(=1)) nên chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng (y=x) và (y=-2x+3) có hệ số (ane a') ((1ne -2)) nên chúng cắt nhau.

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số $m$ để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.

Phương pháp:

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b,,left( {a ne 0} right)$ và $d':y = a'x + b',,left( {a' ne 0} right)$.

+) $d{rm{//}}d' Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = a'b ne b'end{array} right.$

+) (d) cắt $d'$( Leftrightarrow a ne a').

+) (d equiv d' Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = a'b = b'end{array} right.).

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp:

+) Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.

Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức sau

+) Ta có(y = ax + b) với (a ne 0), (b ne 0) là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm (Aleft( {0;b} right)), cắt trục hoành tại điểm (Bleft( { - dfrac{b}{a};0} right)).

+) Điểm (Mleft( {{x_0};{y_0}} right)) thuộc đường thẳng (y = ax + b) khi và chỉ khi ({y_0} = a{x_0} + b).

Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d$ luôn đi qua với mọi tham số $m$

Phương pháp:

Gọi $Mleft( {x;y} right)$ là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm $Mleft( {x;y} right)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$.

Đưa phương trình đường thẳng $d$ về phương trình bậc nhất ẩn $m$.

Từ đó để phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ luôn đúng thì $a = b = 0$

Giải điều kiện ta tìm được $x,y$.

Khi đó $Mleft( {x;y} right)$ là điểm cố định cần tìm.