Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước

Bài viết Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước.

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước

(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST

A. Phương pháp giải

Bài toán: Cho phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), biết phương trình có một nghiệm x 0, tìm các nghiệm còn lại của phương trình

Cách giải:

- Nếu x = x 0 là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì

ax3 + bx2 + cx + d = (x - x 0).f(x)

- Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho (x - x 0).

- Giả sử f(x) = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x - x 0). (ax2 + Bx + C) = 0

Chú ý: để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hooc-ne sau

Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = (x - x 0).(ax2 + Bx + C)

Ví dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình x3 + x2 = 12 (1), biết x = 2 là một nghiệm của phương trình

Giải

Phương trình (1) ⇔ x3+x2-12 = 0

Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (x3 + x2 - 12) chia cho

(x - 2). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

Vậy x3 + x2 - 12 = (x - 2).( x2 + 3x + 6)

Xét phương trình: x - 2 = 0 ⇔ x = 2

Xét phương trình: x2 + 3x + 6 = 0 có ∆ = 32 - 4.1.6 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (x - 2)(x2 + mx+ m2 - 3) = 0 (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1)

Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

+ TH1: phương trình (**) có nghiệm kép khác 2 ⇔ phương trình (**) có

∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (**)

+ TH2: phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

Thay x = 2 vào phương trình (**) ta được:

Với m = -1 thì phương trình (**) trở thành: x2-x-2 = 0

Phương trình này có a - b + c = 0 nên có 2 nghiệm x = -1, x = 2

Suy ra m = -1 thỏa mãn

Vậy m = -1, m = 2, m = -2 là các giá trị cần tìm

B. Bài tập

Câu 1: Tính tổng các nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình

Giải

Vì x = -3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức (2x3 + x2 - 13x + 6)chia cho (x + 3). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia

Vậy 2x3 + x2 - 13x + 6 = (x + 3).(2x2 - 5x + 2)

Xét phương trình x + 3 = 0 ⇔ x = -3

Xét phương trình 2x2 - 5x + 2 = 0 có ∆ = (-5)2 - 4.2.2 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 2, x = 1/2

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:

Đáp án là D

Câu 2: Tìm m để phương trình (x - 1)(x2 - 2(m + 1)x - 2) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1)

Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác x = 1

Vậy với thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án là B

Câu 3: Tìm m để phương trình (2x - 1)(x2 - mx + 3m - 5) = 0 (1) có đúng 1 nghiệm

A. 1 < m < 8

B. 2 < m < 10

C. m = 4

D. m = 0

Giải

Phương trình (1)

Phương trình (*) có 1 nghiệm nên để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

+ TH1: phương trình (**) có nghiệm kép

Thay vào phương trình (**) ta được:

+ TH2: phương trình (**) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0

Vậy 2 < m < 10 là các giá trị cần tìm

Đáp án là B

Câu 4: Tìm m để phương trình (x + 1)(x2 + 2mx + 4) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3

A. m = 1

B. m = 6

C. Không tồn tại m

D. m = 0

Giải

Phương trình (1)

Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -1

Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2 + x3 = -2m

Tổng các nghiệm của phương trình (1) là: x1 + x2 + x3 = -1 - 2m = 3 ⇔ m = -2

m = -2 không thỏa mãn điều kiện nên loại

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài

Đáp án là C

Câu 5: Tìm m để phương trình (x + 2)(x2 - 2(m-1)x + m2 - 3m) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm bằng 4

A. m = 1

B. m = 1, m = 2

C. m = 2

D. m = 0

Giải

Phương trình (1)

Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -2 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -2

Điều này xảy ra

Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2. x3 = m2 - 3m

Tích các nghiệm của phương trình (1) là:

Vậy với m = 1, m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đặt ra

Đáp án đúng là B

Câu 6: Biết rằng phương trình x3 - 4x2 + x + 6 = 0 được đưa về phương trình

(x -3)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính B + C

A. -5

B. -4

C. -6

D. -3

Giải

Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 - 4x2 + x + 6 cho x - 3

Vậy x3 - 4x2 + x + 6 = (x - 3).(x2 - x - 2)

Suy ra phương trình x3 - 4x2 + x + 6 = 0 ⇔ (x - 3).(x2 - x - 2) = 0

Vậy B = -1 và C = -2 ⇒ B + C = -1 - 2 = -3

Đáp án D

Câu 7: Biết rằng phương trình x3 - 5x2 - 2x + 24 = 0 được đưa về phương trình (x - 4)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính tích các nghiệm của phương trình x2 + Bx + C = 0 nếu có

A. -6

B. -7

C. -8

D. -9

Giải

Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 - 5x2 - 2x + 24 cho x - 4

Vậy x3 - 5x2 - 2x + 24 = (x - 4).(x2 - x - 6)

Suy ra phương trình x2 + Bx + C = 0 là phương trình x2 - x - 6 = 0

Phương trình này có Δ = (-1)2 - 4.(-6) = 25 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et tích các nghiệm của phương trình là

Đáp án A

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) 2x3 - 7x2 + 4x + 1 = 0;

b) x3 - x2 - 8x = 6;

c) x3 - x2 - x = 13.

Bài 2. Tìm m để phương trình x3 - mx - 2(m - 4) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Bài 3. Tìm m để phương trình x3 - 2x2 + (1 - m)x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt là x1, x2 và x3 sao cho x12+x22+x32<4.

Bài 4. Biết rằng phương trình 3x3 - x2 + 4x + 8 = 0 được đưa về dạng phương trình (x + 1)(ax2 + bx + c) = 0.

a) Hãy tính tổng các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 nếu có

b) Hãy tính 5a - (b + c).

Bài 5. Cho phương trình x3 - 2mx2 + (m2 + 5m)x - 2m2 - 2m - 8 = 0 . Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt?

(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Phương pháp giải phương trình trùng phương cực hay
• Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu hay, chi tiết
• Phương pháp giải phương trình đưa về dạng tích cực hay
• Cách giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án