Lý thuyết về giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn

+) Cho khoảng (K) chứa điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác định trên (K) hoặc trên (Kbackslash {{x_0}rm{} }.)

(underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kbackslash {rm{{ }}{x_0}{rm{} }}) và (x_nrightarrow x_0), ta có (lim f(x_n) =L).

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((x_0; b)).

(underset{xrightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi dãy số ((xn) bất kì, (x_0<x_n< b) và (x_nrightarrow x_0) ,ta có (lim f(x_n) = L).

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((a; x_0)).

(underset{xrightarrow x_{_{0}}^{-}}{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (a <x_n< x_0) và (x_nrightarrow x_0), ta có (lim f(x_n) = L).

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((a; +∞)).

(underset{xrightarrow+infty }{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_nrightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((-∞; a)).

(underset{xrightarrow-infty }{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n< a), (x_nrightarrow -infty) thì (lim f(x_n) = L).

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

+) Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((a; +∞)), (underset{xrightarrow+infty }{lim} f(x) = -∞) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_nrightarrow +infty) thì ta có (lim f(x_n) = -∞)

+) Cho khoảng (K) chứa điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác định trên (K) hoặc trên (Kbackslash {{x_0}rm{} }.)(underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = +∞) và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kbackslash {rm{{ }}{x_0}{rm{} }}) và (x_nrightarrow x_0) thì ta có: (lim f(x_n) = +∞).

Nhận xét: (f(x)) có giới hạn (+∞ ) khi và chỉ khi (-f(x)) có giới hạn (-∞).

3. Các giới hạn đặc biệt

a) (underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim} x = x_0);

b) (underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim}c = c);

c) (underset{xrightarrow pm infty }{lim} c = c);

d) (underset{xrightarrow pm infty }{lim}) (frac{c}{x} = 0) ((c) là hằng số);

e) (underset{xrightarrow+infty }{lim} x^k= +∞), với (k) nguyên dương;

f) (underset{xrightarrow-infty }{lim} x^k= -∞), nếu (k) là số lẻ;

g) (underset{xrightarrow-infty }{lim}x^k = +∞) , nếu (k) là số chẵn.

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1.

a) Nếu (underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim} = L) và (underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim}) (g(x) = M) thì:

(underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) + g(x)] = L + M);

(underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) - g(x) = L - M);

(underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) . g(x)] = L.M);

(underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim}) (frac{f(x)}{g(x)})= (frac{L}{M}) (nếu (M ≠ 0)).

b) Nếu (f(x) ≥ 0) và (underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L), thì (L ≥ 0) và (underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim}sqrt {f(x)} = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi (x_nrightarrow +infty) hoặc (x_nrightarrow -infty).

Định lí 2.

(underset{xrightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L) khi và chỉ khi (underset{xrightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}) f(x) = (underset{xrightarrow x_{_{0}}^{-}}{lim} f(x) = L).

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

+ Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = pm infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = L ne 0) thì (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]) được cho trong bảng sau:

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương (dfrac{f(x)}{g(x)})

+ Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L ne 0) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = 0) và (gleft( x right) > 0) hoặc (gleft( x right) < 0) với mọi (x in Jbackslash left{ {{x_0}} right}), trong đó (J) là một khoảng nào đó chứa ({x_0}) thì (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}) được cho trong bảng sau:

Loigiaihay.com