Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản, dễ hiểu

VOH Giáo Dục giới thiệu đến các bạn học sinh lớp 8 nội dung chuyên đề Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dưới đây sẽ giúp các bạn học sinh học tốt, hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Nhắc lại kiến thức về giá trị tuyệt đối

1.1. Định nghĩa

Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là |a|, ta định nghĩa như sau:

1.2. Dấu của nhị thức bậc nhất

a. Định nghĩa

• Nhị thức bậc nhất của x là biểu thức có dạng f(x) =ax + b, trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0.
• Số thỏa mãn f(x0) = 0 gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất f(x)

b. Quy tắc dấu

• Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với a khi a > x0 và trái dấu với a khi a < x0

2. Các dạng toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

2.1. Dạng 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = k

*Phương pháp giải:

Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = k ( P(x) là biểu thức chứa ẩn x, k là hằng số cho trước) ta làm như sau:

• Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức
• Nếu k = 0 thì ta có |P(x)| = 0 ⇔ P(x) = 0
• Nếu k > 0 thì ta có |P(x)| = k ⇔ P(x) = k hoặc P(x) = -k

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) 2|x + 3| = 6

b)

a) 2|x + 3| = 6 ⇔ |x + 3| = 3 ⇔ x + 3 = 3 hoặc x + 3 = -3

Trường hợp 1: x + 3 = 3 ⇔ x = 0

Trường hợp 2: x + 3 = -3 ⇔ x = -6

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 0 hoặc x = -6

b) Ta có:

Phương trình vô nghiệm vì

Vậy không có giá trị x thỏa mãn phương trình trên.

Ví dụ 2: Giải và biện luận theo m phương trình |x - 3| = m + 1 (*)

+) Nếu m + 1 < 0 ⇒ m < -1 thì phương trình (*) vô nghiệm

+) Nếu m + 1 = 0 ⇒ m = -1 thì phương trình (*) trở thành:

|x - 3| = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3 ( phương trình có nghiệm duy nhất)

+) Nếu m + 1 > 0 ⇒ m > -1 thì phương trình (*)

⇔ x - 3 = m +1 hoặc x - 3 = -m - 1

⇔ x = m + 4 hoặc x = 2 - m (phương trình có hai nghiệm)

Vậy m < -1 thì phương trình (*) vô nghiệm

m = -1 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 3

m > -1 thì phương trình (*) có hai nghiệm x = m + 4 hoặc x = 2 - m

2.2. Dạng 2: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = |Q(x)|

*Phương pháp giải:

Ta vận dụng tính chất |a| = |b| ⇔ a = b hoặc a = -b

Ta có |P(x)| = |Q(x)| ⇔ P(x) = Q(x) hoặc P(x) = -Q(x)

Ví dụ 3: Tìm x biết

a) |5x - 4| = |2x + 3|

b) |x + 5| = |2x - 1|

a) | 5x - 4| = |2x + 3| ⇔ 5x - 4 = 2x + 3 hoặc 5x - 4 = -(2x + 3)

Trường hợp 1: 5x - 4 = 2x + 3 ⇔ 3x = 7

Trường hợp 2: 5x - 4 = -(2x + 3) ⇔ 7x = 1

Vậy và thỏa mãn điều kiện bài toán.

b) |x + 5| = | 2x - 1| ⇔ x + 5 = 2x - 1 hoặc x + 5 = -(2x - 1)

Trường hợp 1: x + 5 = 2x - 1 ⇔ x = 6

Trường hợp 2: x + 5 = -(2x - 1) ⇔ 3x = -4

Vậy x = 6 và thỏa mãn điều kiện bài toán.

2.3. Dạng 3: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = Q(x)

*Phương pháp giải: Sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1:

Cách 2:

Ví dụ 4: Tìm nghiêm của phương trình sau:

a) |x + 3| = 1 - 2x

b) |2x - 5| = x

a) |x + 3| = 1 - 2x (*)

Trường hợp 1: x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3

Phương trình (*) ⇔ x + 3 = 1 - 2x ⇔ 3x = -2 (thỏa mãn)

Trường hợp 2: x + 3 < 0 ⇔ x < -3

Phương trình (*) ⇔ x + 3 = -(1 - 2x) ⇔ x = 4 (không thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là .

b) |2x - 5| = x (**)

Trường hợp 1: x ≥ 0

Phương trình (**) ⇔ 2x - 5 = x ⇔ x = 5 ( thỏa mãn)

Trường hợp 2: x ≥ 0

Phương trình (**) ⇔ 2x - 5 = -x ⇔ 3x = 5 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5 hoặc

2.4. Dạng 4: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có dạng |A(x)| + |B(x)| = C(x)

*Phương pháp giải:

Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có dạng |A(x)| + |B(x)| = C(x) (trong đó A(x), B(x), C(x) là các biểu thức chứa ẩn x) ta làm như sau:

• Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa ẩn x nằm trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Bước 2: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
• Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu, chia từng khoảng để giải phương trình
• Bước 4: Đối chiếu nghiệm với các điều kiện tương ứng để chọn ra nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 5:Giải phương trình sau:

|x + 1| + | x - 2| = 2x + 3 (*)

Ta có |x + 1| = x + 1 khi x ≥ -1

|x + 1| = -x - 1 khi x < 1

|x - 2| = x - 2 khi x ≥ 2

|x - 2| = 2 - x khi x < 2

Từ đó ta có bảng sau:

Trường hợp 1: x < -1

Phương trình (*) ⇔ -2x +1 = 2x + 3 ⇔ 4x = -2

( không thỏa mãn điều kiện x ≤ -1 )

Trường hợp 2: -1 ≤ x ≤ 3

Phương trình (*) trở thành: 3 = 2x + 3 ⇔ x = 0 ( thỏa mãn)

Trường hợp 3: x > 3

Phương trình (*) trở thành: 2x -1 = 2x - 3 ⇔ 0x = 2 ( vô lý )

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

2.5. Dạng 5: Giải phuơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có dạng |A(x)| + |B(x)| = |A(x) + B(x)|

*Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức sau:

|A(x)| + |B(x)| ≥ |A(x) + B(x)|

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A(x).B(x) ≥ 0

Ví dụ 6: Giải phương trình sau:

|x + 2| +| 3 - x| = 5

Ta có |x + 2| + |3 - x | ≥ |( x + 2) + (3 - x)| ∀x ∈ R

⇔ |x + 2| + |3 - x | ≥ 5

Dấu bằng xẩy ra khi và

chỉ khi (x + 2).(3 - x) ≥ 0

Ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu suy ra (x + 2).(3 - x) ≥ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 3

Trên đây là những kiến thức hữu ích về chủ đề giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Hy vọng các em sẽ học tốt toán hơn, có niềm say mê yêu thích môn Toán. Chúc các em luôn có kết quả cao trong học tập!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang