Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton (Niu-tơn), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất.

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN + Áp dụng khai triển ${(a + b)^n}$ $ = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}.$ + Xác định số hạng tổng quát $C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$, suy ra hệ số tổng quát là một dãy số theo ${a_k}.$ + Xét tính tăng giảm của ${a_k}$ từ đó tìm $k$ tương ứng. + Suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho khai triển: ${(1 + 2x)^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + ldots + {a_n}{x^n}$, trong đó $n in {N^*}$ và các hệ số ${a_0}$, ${a_1}$, …, ${a_n}$ thỏa mãn ${a_0} + frac{{{a_1}}}{2} + ldots + frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.$ Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0}$, ${a_1}$, …, ${a_n}.$

Lời giải: Ta có: ${(1 + 2x)^n}$ $ = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} {2^k}{x^k}.$ Chọn $x = frac{1}{2}$, ta được: $sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.$ Suy ra: ${a_0} + frac{{{a_1}}}{2} + ldots + frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} $ $ Leftrightarrow {2^n} = 4096$ $ Leftrightarrow n = 12.$ Xét số tổng quát trong khai triển là: ${a_k} = C_{12}^k{2^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = C_{12}^k{.2^k}$, ta có: ${a_{k + 1}} = C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.$ Xét ${a_k} - {a_{k + 1}} > 0$ $ Leftrightarrow C_{12}^k{.2^k} - C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} > 0.$ $ Leftrightarrow frac{{12!{2^k}}}{{k!(12 - k)!}} - frac{{12!{2^{k + 1}}}}{{(k + 1)!(11 - k)!}} > 0$ $ Leftrightarrow frac{{12!{2^k}}}{{k!(11 - k)!}}left( {frac{1}{{12 - k}} - frac{2}{{k + 1}}} right) > 0.$ $ Leftrightarrow frac{1}{{12 - k}} - frac{2}{{k + 1}} > 0$ $ Leftrightarrow 3k - 23 > 0$ $ Leftrightarrow k > frac{{23}}{3} approx 7,7.$ Do đó ${a_8} > {a_9} > ldots > {a_{12}}.$ Tương tự: ${a_k} - {a_{k + 1}} < 0$ $ Leftrightarrow k < frac{{23}}{3}.$ Do đó ${a_8} > {a_7} > ldots > {a_0}.$ Vậy $max left( {{a_0},{a_1}, ldots ,{a_n}} right) = {a_8}$ $ = C_{12}^8{2^8} = 126720.$

Bài 2: Tìm $k in { 0;1;2; ldots ;2005} $ sao cho $C_{2005}^k$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải: Ta có: $C_{2005}^k$ lớn nhất $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {C_{2005}^k ge C_{2005}^{k + 1}} {C_{2005}^k ge C_{2005}^{k - 1}} end{array}} right.$ $(forall k in { 0;1;2; ldots ;2005} ).$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {frac{{2005!}}{{k!(2005 - k)!}} ge frac{{2005!}}{{(k + 1)!(2004 - k)!}}} {frac{{2005!}}{{k!(2005 - k)!}} ge frac{{2005!}}{{(k - 1)!(2006 - k)!}}} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {frac{1}{{2005 - k}} ge frac{1}{{k + 1}}} {frac{1}{k} ge frac{1}{{2006 - k}}} end{array}} right..$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {k + 1 ge 2005 - k} {2006 - k ge k} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {k ge 1002} {k le 1003} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow 1002 le k le 1003.$ Vậy $C_{2005}^k$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $left[ {begin{array}{*{20}{l}} {k = 1002} {k = 1003} end{array}} right..$

Bài 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của ${left( {frac{1}{3} + frac{2}{3}x} right)^{15}}.$

Lời giải: Ta có: ${left( {frac{1}{3} + frac{2}{3}x} right)^{15}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {left( {frac{1}{3}} right)^{15 - k}}left( {frac{2}{3}} right){x^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} frac{{{2^k}}}{{{3^{15}}}}{x^k}.$ Gọi ${a_k}$ là hệ số của ${x^k}$ trong khai triển, với $k = overline {0..15} .$ Xét dãy số ${a_k} = frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{2^k}.$ Ta có: ${a_{k + 1}} = frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.$ Suy ra: ${a_k} < {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{.2^k} < frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}}$ $ Leftrightarrow frac{{15!}}{{k!(15 - k)!}} < frac{{15!}}{{(k + 1)!(14 - k)!}}.2.$ $ Leftrightarrow frac{1}{{15 - k}} < frac{2}{{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k + 1 < 30 - 2k$ $ Leftrightarrow k < frac{{29}}{3}.$ Vậy ${a_0} < {a_1} < {a_2} < ldots < {a_{10}}.$ Ngược lại: ${a_k} > {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k > frac{{29}}{3}.$ Suy ra: ${a_{10}} > {a_{11}} > {a_{12}} > ldots > {a_{15}}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là: ${a_{10}} = frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}C_{15}^{10} = 3003.frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$

Bài 4: Trong khai triển của ${left( {frac{1}{3} + frac{2}{3}x} right)^{10}}$ thành đa thức ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ldots + {a_{10}}{x^{10}}$ $left( {{a_k} in R} right).$ Tìm hệ số ${a_k}$ lớn nhất $(0 le k le 10).$

Lời giải: Ta có: ${a_{k - 1}} le {a_k}$ $ Leftrightarrow C_{10}^{k - 1}{.2^{k - 1}} le C_{10}^k{.2^k}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{(k - 1)!(11 - k)!}} le frac{2}{{k!(10 - k)!}}.$ $ Leftrightarrow k le 2(11 - k)$ $ Leftrightarrow k le frac{{22}}{3}.$ Vậy hệ số ${a_7}$ là lớn nhất: ${a_7} = frac{1}{{{3^{10}}}}.C_{10}^7{.2^7}.$

Bài 5: Cho $n$ là số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng $C_n^k$ lớn nhất nếu $k$ là một số tự nhiên lớn nhất không vượt quá $frac{{n + 1}}{2}.$

Lời giải: Ta có: $C_n^k = frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}$ và $C_n^{k - 1} = frac{{n!}}{{(k - 1)!(n - k + 1)!}}$ $ Rightarrow frac{{C_n^k}}{{C_n^{k - 1}}} = frac{{n - k + 1}}{k}.$ Do đó: $C_n^k > C_n^{k - 1}$ $ Leftrightarrow frac{{n - k + 1}}{k} > 1$ $ Leftrightarrow k < frac{{n + 1}}{2}.$ Suy ra $C_n^k$ lớn nhất nếu $k$ là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá $frac{{n + 1}}{2}.$

Bài 6: Khai triển đa thức $P(x) = {(1 + 2x)^{12}}$ thành dạng $P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ldots + {a_{12}}{x^{12}}.$ Hãy tìm $max left( {{a_1},{a_2},{a_3}, ldots ,{a_{12}}} right).$

Lời giải: Ta có: $P(x) = {(1 + 2x)^{12}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} .{(2x)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {.2^k}.{x^k}.$ Do đó: ${a_k} = C_{12}^k{.2^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = C_{12}^k{.2^k}$, $k = overline {1..12} .$ Ta có: ${a_{k + 1}} = C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.$ Suy ra ${a_k} < {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow C_{12}^k{.2^k} < C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}$ $ Leftrightarrow frac{{12!}}{{k!(12 - k)!}}{.2^k} < frac{{12!}}{{(k + 1)!(11 - k)!}}{.2^{k + 1}}.$ $ Leftrightarrow frac{{12!}}{{k!(12 - k).(11 - k)!}}{.2^k}$ $ < frac{{12!}}{{(k + 1).k!(11 - k)!}}{.2.2^k}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{12 - k}} < frac{2}{{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k < frac{{23}}{3}.$ Suy ra: ${a_0} < {a_1} < {a_2} < ldots < {a_8}.$ Ngược lại: ${a_k} > {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k > frac{{23}}{3}$ suy ra: ${a_8} > {a_9} > {a_{10}} > {a_{11}} > {a_{12}}.$ Vậy với mọi $k = overline {1..12} $, ${a_k} le {a_8}.$ Vậy $max left( {{a_1},{a_2},{a_3}, ldots ,{a_{12}}} right) = {a_8}$ $ = C_{12}^8{.2^8} = 126720.$

Bài 7: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: ${(3 + 2x)^8}.$

Lời giải: Ta có: ${(3 + 2x)^8}$ $ = sumlimits_{k = 0}^8 {C_8^k} {3^{8 - k}}{2^k}{x^k}.$ Hệ số tổng quát trong khai triển là: ${a_k} = C_8^k{3^{8 - k}}{2^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = C_8^k{3^{8 - k}}{2^k}$, $k = overline {0..8} .$ Ta có: ${a_{k + 1}} = C_8^{k + 1}{3^{7 - k}}{2^{k + 1}}.$ Xét ${a_k} - {a_{k + 1}} > 0$ $ Leftrightarrow C_8^k{3^{8 - k}}{2^k} - C_8^{k + 1}{3^{7 - k}}{2^{k + 1}} > 0.$ $ Leftrightarrow {3^{7 - k}}{2^k}left( {3C_8^k - 2C_8^{k + 1}} right) > 0$ $ Leftrightarrow 3.frac{{8!}}{{k!(8 - k)!}} - 2.frac{{8!}}{{(k + 1)!(7 - k)!}} > 0.$ $ Leftrightarrow frac{{8!}}{{k!(7 - k)!}}left( {frac{3}{{8 - k}} - frac{2}{{k + 1}}} right) > 0$ $ Leftrightarrow frac{{3k - 3 - 16 + 2k}}{{(8 - k)(k + 1)}} > 0$ $ Leftrightarrow k > frac{{19}}{5}.$ Suy ra: ${a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7} > {a_8}.$ Ngược lại: ${a_k} - {a_{k + 1}} < 0$ $ Leftrightarrow k < frac{{19}}{5}.$ Suy ra: ${a_4} > {a_3} > {a_2} > {a_1} > {a_0}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: ${a_4} = C_8^4{3^4}{2^4} = 90720.$

Bài 8: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của ${(2 + 3x)^{2n}}$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}$ $ = 1024.$

Lời giải: Xét khai triển: ${(1 + x)^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$ Chọn $x= 1$, ta được: $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $(*).$ Chọn $x = - 1$, ta được: $C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 - C_{2n + 1}^3$ $ + ldots - C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.$ Từ $(*)$ suy ra: $2left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} right)$ $ = {2^{2n + 1}}.$ $ Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.$ Theo giả thiết ta có: ${2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}$ $ Leftrightarrow n = 5.$ Từ đó suy ra: ${(2 + 3x)^{2n}}$ $ = {(2 + 3x)^{10}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 - k}}{(3x)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {{3^k}} .C_{10}^k{2^{10 - k}}{x^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = {3^k}.C_{10}^k{2^{10 - k}}$, $k = overline {0..10} .$ Ta có: ${a_{k + 1}} = {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 - k}}.$ Ta có: ${a_k} > {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow {a_k} - {a_{k + 1}} > 0$ $ Leftrightarrow {3^k}.C_{10}^k{2^{10 - k}} - {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 - k}} > 0.$ $ Leftrightarrow {3^k}{2^{9 - k}}left( {2C_{10}^k - 3C_{10}^{k + 1}} right) > 0$ $ Leftrightarrow 2.frac{{10!}}{{k!(10 - k)!}} - 3.frac{{10!}}{{(k + 1)!(9 - k)!}} > 0.$ $ Leftrightarrow frac{{10!}}{{k!(9 - k)!}}left( {frac{2}{{10 - k}} - frac{3}{{k + 1}}} right) > 0$ $ Leftrightarrow frac{{10!}}{{k!(9 - k)!}}left( {frac{{5k - 28}}{{(10 - k)(k + 1)}}} right) > 0$ $ Leftrightarrow k > frac{{28}}{5}.$ Suy ra: ${a_6} > {a_7} > ldots > {a_{10}}.$ Ngược lại: ${a_k} < {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k < frac{{28}}{5}.$ Suy ra: ${a_6} > {a_7} > … > {a_{10}}.$ Ngược lại: ${a_k} < {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k < frac{{28}}{5}.$ Suy ra: ${a_6} > {a_5} > … > {a_0}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: ${a_6} = {3^6}.C_{16}^6{2^4} = 2449440.$

Bài 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển: ${(1 + x)^n}$, biết rằng tổng các hệ số bằng $4096.$

Lời giải: Xét khai triển ${(1 + x)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^k}.$ Chọn $x = 1$, ta được: $sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.$ Theo giả thiết ta có: ${2^n} = 4096$ $ Leftrightarrow n = 12.$ Suy ra: ${(1 + x)^n}$ $ = {(1 + x)^{12}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = C_{12}^k.$ Ta có: ${a_k} ge {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow C_{12}^k ge C_{12}^{k + 1}$ $ Leftrightarrow frac{{12!}}{{k!(12 - k)!}} ge frac{{12!}}{{(k + 1)!(11 - k)!}}.$ $ Leftrightarrow frac{{12!}}{{k!(12 - k)(11 - k)!}} ge frac{{12!}}{{(k + 1)k!(11 - k)!}}$ $ Leftrightarrow frac{1}{{(12 - k)}} ge frac{1}{{(k + 1)}}$ $ Leftrightarrow k ge frac{{13}}{2}.$ Suy ra: ${a_7} ge {a_8} ge ldots ge {a_{12}}.$ Ngược lại: ${a_k} le {a_{k + 1}}$ $ Leftrightarrow k le frac{{13}}{2}.$ Suy ra: ${a_7} ge {a_6} ge ldots ge {a_0}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: ${a_7} = C_{12}^7 = 792.$