Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2017

Đề bài

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức (A = dfrac{{sqrt x + 2}}{{sqrt x - 5}}) và (B = dfrac{3}{{sqrt x + 5}} + dfrac{{20 - 2sqrt x }}{{x - 25}}), với (x ge 0,x ne 25.)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

2) Chứng minh (B = dfrac{1}{{sqrt x - 5}}).

3) Tìm tất cả các giá trị của x để (A = B.left| {x - 4} right|).

Bài II(2,0 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một xe ô tô và xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120 km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Bài III(2 điểm)

1) Giải hệ phương trình: (left{ begin{array}{l}sqrt x + 2sqrt {y - 1} = 54sqrt x - sqrt {y - 1} = 2end{array} right.).

2) Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy), cho đường thẳng (d): (y = mx + 5).

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5) với mọi giá trị của m.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): (y = {x^2}) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là ({x_1};,,{x_2})(với ({x_1} < {x_2})) sao cho (left| {{x_1}} right| > left| {{x_2}} right|).

Bài IV(3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN Cắt các cạnh AB và BC lần lươt tại các điểm H và K.

1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh (N{B^2} = NK.NM)

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngọai tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Bài V(0,5 điểm)

Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: (a ge 1,b ge 1,c ge 1) (ab + bc + ca = 9) . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức (P = {a^2} + {b^2} + {c^2}) .