Hệ phương trình đối xứng loại 2

Bài viết hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 2.

I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: $left{ begin{array}{l} fleft( {x;y} right) = a fleft( {y;x} right) = a end{array} right.$ $(*).$ 2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được: $fleft( {x;y} right) - fleft( {y;x} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x - y} right)gleft( {x;y} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = y gleft( {x;y} right) = 0 end{array} right.$ 3. Chú ý: + Nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ thì $left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} right)$ cũng là nghiệm của hệ phương trình $(*)$. Từ đó suy ra, nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$ + $fleft( {x;y} right) + fleft( {y;x} right) = 2a$ là một phương trình đối xứng.

II. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. $left{ begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y {y^2} = 3y + 2x end{array} right.$ 2. $left{ begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y {y^3} + 1 = 2x end{array} right.$

1. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được: ${x^2} - {y^2} = x - y$ $ Leftrightarrow left( {x - y} right)left( {x + y - 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = y x = 1 - y end{array} right.$ + Với $x = y Rightarrow {x^2} = 3x$ $ Leftrightarrow x = 0,x = 3.$ + Với $x = 1 - y$ $ Rightarrow {y^2} = 3y + 2left( {1 - y} right)$ $ Leftrightarrow {y^2} - y - 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} y = - 1 Rightarrow x = 2 y = 2 Rightarrow x = - 1 end{array} right.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $left( {x;y} right) = left( {0;0} right),left( {3;3} right)$, $left( { - 1;2} right),left( {2; - 1} right).$ 2. Trừ hai phương trình của hệ, ta được: ${x^3} - {y^3} = 2left( {y - x} right)$ $ Leftrightarrow left( {x - y} right)left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do ${x^2} + xy + {y^2} + 2 > 0$, $forall x,y$). Thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^3} + 1 = 2x$ $ Leftrightarrow left( {x - 1} right)left( {{x^2} + x - 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = 1$, $x = frac{{ - 1 pm sqrt 5 }}{2}.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $left[ begin{array}{l} x = y = 1 x = y = frac{{ - 1 pm sqrt 5 }}{2} end{array} right.$

Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau: 1. $left{ begin{array}{l} frac{3}{{{x^2}}} = 2x + y frac{3}{{{y^2}}} = 2y + x end{array} right.$ 2. $left{ begin{array}{l} sqrt {x + 9} + sqrt {y - 7} = 8 sqrt {y + 9} + sqrt {x - 7} = 8 end{array} right.$

1. Điều kiện: $x,y ne 0.$ Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 2{x^3} + {x^2}y = 3 2{y^3} + {y^2}x = 3 end{array} right.$ $ Rightarrow 2left( {{x^3} - {y^3}} right) + xyleft( {x - y} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x - y} right)left( {2{x^2} + 3xy + 2{y^2}} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do $2{x^2} + 3xy + 2{y^2}$ $ = 2{left( {x + frac{3}{4}y} right)^2} + frac{7}{8}{y^2} > 0$). Thay vào hệ phương trình, ta được: $3{x^3} = 3$ $ Leftrightarrow x = 1 = y.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=1.$ 2. Điều kiện: $x,y ge 7.$ Trừ hai phương trình của hệ, ta được: $sqrt {x + 9} + sqrt {y - 7} $ $ = sqrt {y + 9} + sqrt {x - 7} $ $ Leftrightarrow sqrt {left( {x + 9} right)left( {y - 7} right)} $ $ = sqrt {left( {y + 9} right)left( {x - 7} right)} $ $ Leftrightarrow x = y.$ Thay vào hệ phương trình, ta được: $sqrt {x + 9} + sqrt {x - 7} = 8$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} sqrt {x + 9} + sqrt {x - 7} = 8 sqrt {x + 9} - sqrt {x - 7} = 2 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} sqrt {x + 9} = 5 sqrt {x - 7} = 3 end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = 16.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=16.$

Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau: 1. $left{ begin{array}{l} sqrt x + sqrt {2 - y} = 2 sqrt y + sqrt {2 - x} = 2 end{array} right.$ 2. $left{ begin{array}{l} sqrt {5x + 1} + sqrt {12 - y} = 7 sqrt {5y + 1} + sqrt {12 - x} = 7 end{array} right.$

1. Điều kiện: $0 le x,y le 2.$ Trừ hai phương trình của hệ, ta được: $sqrt x - sqrt {2 - x} $ $ = sqrt y - sqrt {2 - y} $ $left( * right).$ Do hàm số $fleft( t right) = sqrt t + sqrt {2 - t} $ là một hàm liên tục và đồng biến trên $(0;2).$ Nên $left( * right) Leftrightarrow f(x) = f(y)$ $ Leftrightarrow x = y.$ Thay vào hệ phương trình, ta có: $sqrt x + sqrt {2 - x} = 2$ $ Leftrightarrow sqrt {xleft( {2 - x} right)} = 1$ $ Leftrightarrow x = 1.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=1.$ 2. Điều kiện: $left{ begin{array}{l} - frac{1}{5} le x le 12 - frac{1}{5} le y le 12 end{array} right.$ Trừ hai phương trình của hệ, ta được: $sqrt {5x + 1} - sqrt {12 - x} $ $ = sqrt {5y + 1} - sqrt {12 - y} $ $(*).$ Xét hàm số: $fleft( t right) = sqrt {5t + 1} - sqrt {12 - t} $, $t in left[ { - frac{1}{5};12} right]$, ta có: $f’left( x right) = frac{5}{{2sqrt {5t + 1} }} + frac{1}{{2sqrt {12 - t} }} > 0$, $forall t in left( { - frac{1}{5};12} right).$ Suy ra: $left( * right) Leftrightarrow fleft( x right) = fleft( y right)$ $ Leftrightarrow x = y.$ Thay $x=y$ vào hệ phương trình, ta được: $sqrt {5x + 1} + sqrt {12 - x} = 7$ $ Leftrightarrow 4x + 13$ $ + 2sqrt {left( {5x + 1} right)left( {12 - x} right)} = 49$ $ Leftrightarrow sqrt { - 5{x^2} + 59x + 12} = 18 - 2x$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x le 9 9{x^2} - 131x + 312 = 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = 3.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=3.$ [ads] Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau: 1. $left{ begin{array}{l} {x^3} = 2x + y {y^3} = 2y + x end{array} right.$ 2. $left{ begin{array}{l} left( {x - 1} right)left( {{y^2} + 6} right) = yleft( {{x^2} + 1} right) left( {y - 1} right)left( {{x^2} + 6} right) = xleft( {{y^2} + 1} right) end{array} right.$

1. Trừ hai phương trình của hệ, ta được: ${x^3} - {y^3} = x - y$ $ Leftrightarrow left( {x - y} right)left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = y {x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0 end{array} right.$ + Với $x=y$, thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^3} = 3x$ $ Leftrightarrow x = 0$, $x = pm sqrt 3 .$ + Với ${x^2} + xy + {y^2} = 1$ $left( 1 right)$, cộng hai phương trình của hệ phương trình, ta có: ${x^3} + {y^3} - 3left( {x + y} right) = 0$ $left( 2 right).$ Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} {x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0 {x^3} + {y^3} - 3left( {x + y} right) = 0 end{array} right.$ Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có: $left{ begin{array}{l} {S^2} - P - 1 = 0 {S^3} - 3SP - 3S = 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} P = {S^2} - 1 {S^3} - 3Sleft( {{S^2} - 1} right) - 3S = 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 0 P = - 1 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 1 y = - 1 end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l} x = - 1 y = 1 end{array} right.$ Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm: $left{ begin{array}{l} x = 0 y = 0 end{array} right.$, $left{ begin{array}{l} x = - 1 y = 1 end{array} right.$, $left{ begin{array}{l} x = 1 y = - 1 end{array} right.$, $left{ begin{array}{l} x = sqrt 3 y = sqrt 3 end{array} right.$, $left{ begin{array}{l} x = - sqrt 3 y = - sqrt 3 end{array} right.$ 2. Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x{y^2} + 6x - {y^2} - 6 = y{x^2} + y y{x^2} + 6y - {x^2} - 6 = x{y^2} + x end{array} right.$ Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ, ta được: $2xyleft( {y - x} right) + 7left( {x - y} right)$ $ + left( {x - y} right)left( {x + y} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x - y} right)left( {x + y - 2xy + 7} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = y x + y - 2xy + 7 = 0 end{array} right.$ + Với $x=y$, thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^2} - 5x + 6 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = y = 2 x = y = 3 end{array} right.$ + Với $x+y-2xy+7=0$ $(1)$, cộng hai phương trình của hệ đã cho, ta được: ${x^2} + {y^2} - 5x - 5y + 12 = 0$ $left( 2 right).$ Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} x + y - 2xy + 7 = 0 {x^2} + {y^2} - 5x - 5y + 12 = 0 end{array} right.$ Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} S - 2P + 7 = 0 {S^2} - 5S - 2P + 12 = 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} P = frac{{S + 7}}{2} {S^2} - 6S + 5 = 0 end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S = 1 P = 4 end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l} S = 5 P = 6 end{array} right.$ + Với $left{ begin{array}{l} S = 1 P = 4 end{array} right.$, ta thấy hệ vô nghiệm. + Với $left{ begin{array}{l} S = 5 P = 6 end{array} right.$, ta có: $left{ begin{array}{l} x = 2 y = 3 end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l} x = 3 y = 2 end{array} right.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $left( {x;y} right) = left( {2;2} right),left( {3;3} right)$, $left( {2;3} right),left( {3;2} right).$

Ví dụ 5. Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm: $left{ begin{array}{l} 2x + sqrt {y - 1} = m 2y + sqrt {x - 1} = m end{array} right.$

Điều kiện: $x,y ge 1$. Đặt $a = sqrt {x - 1} $, $b = sqrt {y - 1} $ $ Rightarrow a,b ge 0$, ta có: $left{ begin{array}{l} 2{a^2} + b = m - 2 2{b^2} + a = m - 2 end{array} right.$ $ Rightarrow 2left( {a - b} right)left( {a + b} right)$ $ + b - a = 0$ $ Leftrightarrow left( {a - b} right)left( {2a + 2b - 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} a = b a = frac{{1 - 2b}}{2} end{array} right.$ + Với $a = b$ $ Rightarrow 2{a^2} + a = m - 2$ $ Rightarrow $ Phương trình có nghiệm $a ge 0$ $ Leftrightarrow m - 2 ge 0$ $ Leftrightarrow m ge 2.$ + Với $a = frac{{1 - 2b}}{2}$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l} 0 le b le frac{1}{2} 4{b^2} - 2b = 2m - 5 end{array} right.$, hệ phương trình có nghiệm $ Leftrightarrow - frac{1}{4} le 2m - 5 le 0$ $ Leftrightarrow frac{{19}}{8} le m le frac{5}{2}.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m ge 2.$

Ví dụ 6. Tìm $m$ để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1. $left{ begin{array}{l} x = {y^2} - y + m y = {x^2} - x + m end{array} right.$ 2. $left{ begin{array}{l} 3{x^2} = {y^3} - 2{y^2} + my 3{y^2} = {x^3} - 2{x^2} + mx end{array} right.$

1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ thì $left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} right)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$ Thay vào hệ ta được: $x_0^2 - 2{x_0} + m = 0$, phương trình này có nghiệm duy nhất $ Leftrightarrow Delta’ = 1 - m = 0$ $ Leftrightarrow m = 1.$ Điều kiện đủ: Với $m = 1$ hệ trở thành: $left{ begin{array}{l} x = {y^2} - y + 1 y = {x^2} - x + 1 end{array} right.$ $ Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = 0$ $ Leftrightarrow {left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} = 0$ $ Leftrightarrow x = y = 1$ (thử lại ta thấy thỏa mãn hệ). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m = 1.$ 2. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ thì $left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} right)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$ Thay vào hệ ta được: $x_0^3 - 5x_0^2 + m{x_0} = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {x_0} = 0 x_0^2 - 5{x_0} + m = 0left( * right) end{array} right.$ Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $(*)$ phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x = 0.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} Delta = 25 - 4m < 0 left{ begin{array}{l} Delta = 25 - 4m = 0 5 = 0 end{array} right. end{array} right.$ $ Leftrightarrow m > frac{{25}}{4}.$ Điều kiện đủ: Với $m > frac{{25}}{4}$, ta có: $left[ begin{array}{l} 3{x^2} = yleft( {{y^2} - 2y + m} right) = yleft[ {{{left( {y - 1} right)}^2} + m - 1} right] 3{y^2} = xleft( {{x^2} - 2x + m} right) = xleft[ {{{left( {x - 1} right)}^2} + m - 1} right] end{array} right.$ $ Rightarrow x,y ge 0.$ Cộng hai phương trình của hệ với nhau, ta được: $xleft( {{x^2} - 5x + m} right)$ $ + yleft( {{y^2} - 5y + m} right) = 0$ $ Leftrightarrow xleft[ {{{left( {x - frac{5}{2}} right)}^2} + m - frac{{25}}{4}} right]$ $ + yleft[ {{{left( {y - frac{5}{2}} right)}^2} + m - frac{{25}}{4}} right] = 0$ $ Leftrightarrow x = y = 0.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m > frac{{25}}{4}.$

Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình $left{ begin{array}{l} 2{x^2} = y + frac{{{a^2}}}{y} 2{y^2} = x + frac{{{a^2}}}{x} end{array} right.$ có nghiệm duy nhất với mọi $a ne 0.$

Điều kiện: $x ne 0.$ Từ hai phương trình của hệ $ Rightarrow x,y > 0.$ Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 2{x^2}y = {y^2} + {a^2} 2{y^2}x = {x^2} + {a^2} end{array} right.$ $ Rightarrow 2xyleft( {x - y} right) = {y^2} - {x^2}$ $ Leftrightarrow left( {x - y} right)left( {2xy + x + y} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do $x,y > 0$ $ Rightarrow 2xy + x + y > 0$). Thay vào hệ phương trình, ta được: ${a^2} = 2{x^3} - {x^2} = fleft( x right)$ $(*).$ Xét hàm số: $fleft( x right) = 2{x^3} - {x^2}$ với $x>0.$ Ta có: $f’left( x right) = 2xleft( {3x - 1} right)$ $ Rightarrow f’left( x right) = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{1}{3}.$ Mà $fleft( 0 right) = 0$, $fleft( {frac{1}{3}} right) = - frac{1}{{27}}$ và ${a^2} > 0$ nên phương trình $(*)$ chỉ có duy nhất một nghiệm. Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi $a ne 0.$