Phương pháp nhân tử Lagrange với đẳng thức

Mở đầu

Trong ngành toán học tối ưu, với phương pháp nhân tử Lagrange (đặt theo tên một nhà toán học) ta có thể tìm được cực tiểu hoặc cực đại địa phương của một hàm số nhưng chịu các điều kiện giới hạn.

Phát biểu bài toán

1. Ta muốn tìm cực tiểu của hàm z = f(x;y) với điều kiện ràng buộc φ(x; y) = 0.
2. Ta thiết lập hàm Lagrange L(x; y; λ) = f (x; y) + λφ(x; y).
3. Tìm điểm dừng của L, tức là giải hệ phương trình:
4. 
5. Xét dấu đạo hàm bậc 2 của hàm L tại điểm (x0;y0) mà (x0;y0;λ0) là nghiệm của hệ phương trình ở bước 4

• L”(x0; y0; λ0) < 0 = f(x0; y0) (Hàm Z đạt cực đại)
• L”(x0; y0; λ0) > 0 = f(x0; y0) (Hàm Z đạt cực tiểu)

Bài toán

1. Ta tìm cực trị đối với hàm f(x;y) = x^2 + y^2 thoả mãn φ(x;y) = x + y - 10 = 0
2. T thiết lập hàm L(x; y; λ) = x^2 + y^2 + λ(x + y = 10)

• Ta đạo hàm L(x; y; λ) theo x : L'(x; y; λ)(x) = 2x + λ = 0 => x = -λ/2 (1)
• Ta đạo hàm L(x; y; λ) theo y : L'(x; y; λ)(y) = 2y + λ = 0 => y = -λ/2 (2)
• Ta đạo hàm L(x; y; λ) theo λ : L'(x; y; λ)(λ) = x + y - 10 = 0. Từ (1) (2) => λ = -10

=> Ta có điểm dừng x0 (5,5,-10).

Kết luận

Phần tìm giá trị nhỏ nhất đã được bỏ qua ở đoạn cuối, phần quan trọng nhất là tìm điểm dừng x0, và với chủ đề này blog cũng chỉ đề cập đến phương pháp nhân tử Lagrange với đẳng thức, phần bất đẳng thức hoàn toàn không được đề cập đến. Bài này cũng khá ngắn, chỉ đề cập về toán học thông thường, nhưng tất nhiên là cũng có lý do riêng của nó, và là để chuẩn bị cho một blog dài hơi hơn.

Tản mạn về toán và cuộc sống

Ngay từ khi học cập 3, thương ta gặp rất nhiều bài toán, dạng toán mà đôi khi ta tự hỏi, sau này nó giúp gì cho mình không ? Tại sao phải học toán, biết cộng trừ nhân chia là đủ rồi, phải không ?

Ngày xưa, khi cuộc sống mà con người ta chỉ biết đến những tài sản mà họ có như là một con trâu, 2 thửa ruộng,… Nhưng lại đối với những người đang nợ nần, tức là họ phải đạt được một một tiền nào đó thì họ mới trở về tình trạng vô sản. Vậy người ta mới nghĩ ra số âm, để biểu diễn cho trạng thái đó. À vậy đó là lí do số âm ra đời.

Đến một ngày kia, khi người ta phát hiện ra bất kì chu vi của một đường tròn nếu chia cho bán kính thì đều ra một hằng số, sau đó họ đặt tên là số pi, rồi cạnh huyền của một tam giác vuông bằng một số nào đó mà thoả mãn c^2 = a^2 + b^2. Nhưng không thể viết chính xác được số đó, và thế là họ nghĩ ra đến căn bậc 2 ( √ ). À vậy là đó là lí do ra đời của số hữu tỉ.

Và rồi họ cũng nghĩ ra logarit log(x) = y, vì đơn giản họ thấy rằng số đó tồn tại, khi vẽ lên hàm số, đường cong log(x) giao với đường thằng y = x tại một điểm, chỉ là người ra không thể chỉ chính xác nó mà thôi.

Vậy toán học chỉ đơn giản là một công cụ, hay một trò chơi mà con người ra nghĩ ra để đặt tên chỉ điểm cho những cái mà họ không thể biểu diễn chính xác. Đôi khi những bài toán đơn thuần được nghĩ ra, nhưng tồn tại và không ai giải được hoặc chứng minh được, hoặc là những bài toán có thể giải được nhưng có khi mất đến vài … trăm năm chẳng hạn. Ví dụ giải hệ phương trình bậc n, tìm mặt phẳng trong chiều thứ n, … đơn giản vì ta chỉ sống trong không gian 4 chiều (x, y, z, t), nhưng những vấn đề ta gặp phải nó vượt xa ngoài tầm cái 4 chiều rồi. Và máy tính, tin học ra đời, một thứ tuyệt vời, nó giúp ta chứng minh và giải hầu hết các bài toán trong thời gian realtime. Và với cái thời đại thông tin và học máy bùng nổ, mà vẫn chỉ muốn cộng trừ nhân chia, hay là … học toán xong chẳng để áp dụng vào đâu, thì đúng thật là … ấu trĩ =)).

Tài liệu tham khảo