Hệ tọa độ Descartes

Một Hệ tọa độ Descartes (tiếng Anh: Cartesian coordinate system) xác định vị trí của một điểm (point) trên một mặt phẳng (plane) cho trước bằng một cặp số tọa độ (x, y). Trong đó, x và y là 2 giá trị được xác định bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo). 2 đường thẳng đó gọi là trục tọa độ (coordinate axis) (hoặc đơn giản là trục); trục nằm ngang gọi là trục hoành, trục đứng gọi là trục tung; điểm giao nhau của 2 đường gọi là gốc tọa độ (origin) và nó có giá trị là (0, 0).

Hệ tọa độ này là ý tưởng của nhà toán học và triết học người Pháp René Descartes thể hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông. Trong phần hai của bài Phương pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã giới thiệu ý tưởng mới về việc xác định vị trí của một điểm hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai trục giao nhau để đo. Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên.

Descartes là người đã có công hợp nhất đại số và hình học Euclide. Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân, và khoa học bản đồ.

Ngoài ra, ý tưởng về hệ tọa độ có thể được mở rộng ra không gian ba chiều (three-dimensional space) bằng cách sử dụng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes). Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều có thể được xây dựng bằng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tương đương với n-trục).

Là 2 trục vuông góc x'Ox và y'Oy mà trên đó đã chọn 2 vectơ đơn vị i → {displaystyle {vec {i}}} , j → {displaystyle {vec {j}}} sao cho độ dài của 2 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

Nếu a → = x i → + y j → {displaystyle {vec {a}}=x{vec {i}}+y{vec {j}}} thì cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vectơ a → {displaystyle {vec {a}}} . x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của a → {displaystyle {vec {a}}} .

Ký hiệu a → = ( x ; y ) {displaystyle {vec {a}}=(x;y)}

Mỗi điểm M được xác định bởi một cặp số M(x,y), được gọi là tọa độ điểm M, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm M

Tính chất:

• ∀ x ≠ 0 , M ( x ; 0 ) ∈ O x {displaystyle forall xneq 0,M(x;0)in Ox}
• ∀ y ≠ 0 , M ( 0 ; y ) ∈ O y {displaystyle forall yneq 0,M(0;y)in Oy}
• Tọa độ của một điểm chính là tọa độ của vectơ có điểm cuối là điểm đó và điểm đầu là O. Ta có M ( x , y ) ⇔ O M → = ( x ; y ) {displaystyle Mleft(x,yright)Leftrightarrow {overrightarrow {OM}}=(x;y)}

Cho 2 điểm A ( x A ; y A ) {displaystyle A(x_{A};y_{A})} và B ( x B ; y B ) {displaystyle B(x_{B};y_{B})} , khi đó ta có A B → = ( x B − x A ; y B − y A ) {displaystyle {overrightarrow {AB}}=left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A}right)}

Cho a → = ( a 1 ; a 2 ) {displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2})} , khi đó | a → | = a 1 2 + a 2 2 {displaystyle leftvert {vec {a}}rightvert ={sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}} là độ dài của vectơ a → {displaystyle {vec {a}}}

Cho 2 điểm A ( x A ; y A ) {displaystyle A(x_{A};y_{A})} và B ( x B ; y B ) {displaystyle B(x_{B};y_{B})} , khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 {displaystyle AB={sqrt {left(x_{B}-x_{A}right)^{2}+left(y_{B}-y_{A}right)^{2}}}}

Cho a → = ( a 1 ; a 2 ) {displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2})} và b → = ( b 1 ; b 2 ) {displaystyle {vec {b}}=(b_{1};b_{2})} . Gọi α {displaystyle alpha } là góc giữa 2 vectơ a → {displaystyle {vec {a}}} và b → {displaystyle {vec {b}}} . Khi đó cos ⁡ α = a 1 b 1 + a 2 b 2 ( a 1 2 + a 2 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 ) {displaystyle cos alpha ={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} over {sqrt {left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}right)left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}right)}}}}

Cho a → = ( a 1 ; a 2 ) {displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2})} ta có k a → = ( k a 1 ; k a 2 ) {displaystyle k{vec {a}}=(ka_{1};ka_{2})}

Cho a → = ( a 1 ; a 2 ) {displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2})} và b → = ( b 1 ; b 2 ) {displaystyle {vec {b}}=(b_{1};b_{2})} ta có

• a → + b → = ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ) {displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2})}
• a → − b → = ( a 1 − b 1 ; a 2 − b 2 ) {displaystyle {vec {a}}-{vec {b}}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2})}
• a → . b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 {displaystyle {vec {a}}.{vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}
• a → {displaystyle {vec {a}}} và b → {displaystyle {vec {b}}} cùng phương ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } a 1 b 2 = a 2 b 1 {displaystyle a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}}

Cho đoạn thẳng AB có A ( x A ; y A ) {displaystyle A(x_{A};y_{A})} và B ( x B ; y B ) {displaystyle B(x_{B};y_{B})} , Khi đó I ( x A + x B 2 ; y A + y B 2 ) {displaystyle Ileft({x_{A}+x_{B} over 2};{y_{A}+y_{B} over 2}right)} là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho △ A B C {displaystyle bigtriangleup ABC} có A ( x A ; y A ) {displaystyle A(x_{A};y_{A})} , B ( x B ; y B ) {displaystyle B(x_{B};y_{B})} và C ( x C ; y C ) {displaystyle C(x_{C};y_{C})} , khi đó G ( x A + x B + x C 3 ; y A + y B + y C 3 ) {displaystyle Gleft({x_{A}+x_{B}+x_{C} over 3};{y_{A}+y_{B}+y_{C} over 3}right)} là tọa độ trọng tâm của △ A B C {displaystyle bigtriangleup ABC}

Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một x'Ox, y'Oy, z'Oz mà trên đó đã chọn 3 vectơ đơn vị i → {displaystyle {vec {i}}} , j → {displaystyle {vec {j}}} , k → {displaystyle {vec {k}}} sao cho độ dài của 3 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Trục z'Oz (hay trục Oz) gọi là trục cao.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

3 trục tọa độ nói trên vuông góc với nhau tạo thành 3 mặt phẳng tọa độ là Oxy, Oyz và Ozx vuộng góc với nhau từng đôi một

Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi bộ số M(x,y,z). và ngược lại, bộ số đó được gọi là tọa độ của điểm M, x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ và z được gọi là cao độ của điểm M.

Tính chất

• ∀ x y ≠ 0 , A ( x , y , 0 ) ∈ O x y {displaystyle forall xyneq 0,A(x,y,0)in Oxy}
• ∀ x z ≠ 0 , A ( x , 0 , z ) ∈ O x z {displaystyle forall xzneq 0,A(x,0,z)in Oxz}
• ∀ y z ≠ 0 , A ( 0 , y , z ) ∈ O y z {displaystyle forall yzneq 0,A(0,y,z)in Oyz}
• ∀ x ≠ 0 , M ( x ; 0 ; 0 ) ∈ O x {displaystyle forall xneq 0,M(x;0;0)in Ox}
• ∀ y ≠ 0 , M ( 0 ; y ; 0 ) ∈ O y {displaystyle forall yneq 0,M(0;y;0)in Oy}
• ∀ z ≠ 0 , M ( 0 ; 0 ; z ) ∈ O z {displaystyle forall zneq 0,M(0;0;z)in Oz}

Trong không gian, cho vectơ a → = x i → + y j → + z k → {displaystyle {vec {a}}=x{vec {i}}+y{vec {j}}+z{vec {k}}} , khi đó bộ số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ a → {displaystyle {vec {a}}} .

Ký hiệu: a → = ( x ; y ; z ) {displaystyle {vec {a}}=(x;y;z)}

Cho 2 điểm A ( x A ; y A ; z A ) {displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})} và B ( x B ; y B ; z B ) {displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})} , khi đó ta có A B → = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) {displaystyle {overrightarrow {AB}}=left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A}right)}

Cho điểm M ( x M ; y M ; z M ) {displaystyle M(x_{M};y_{M};z_{M})} , khi đó ta có O M → = ( x M ; y M ; z M ) {displaystyle {vec {OM}}=(x_{M};y_{M};z_{M})} và ngược lại

Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) {displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})} , khi đó | a → | = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 {displaystyle leftvert {vec {a}}rightvert ={sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}} là độ dài của vectơ a → {displaystyle {vec {a}}}

Cho 2 điểm A ( x A ; y A ; z A ) {displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})} và B ( x B ; y B ; z B ) {displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})} , khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2 {displaystyle AB={sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}}

Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) {displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})} và b → = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) {displaystyle {vec {b}}=(b_{1};b_{2};b_{3})} . Gọi α {displaystyle alpha } là góc giữa 2 vectơ a → {displaystyle {vec {a}}} và b → {displaystyle {vec {b}}} . Khi đó

cos ⁡ ( α ) = a → . b → | a → | | b → | = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) {displaystyle cos(alpha )={{vec {a}}.{vec {b}} over leftvert {vec {a}}rightvert leftvert {vec {b}}rightvert }={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} over {sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})}}}}

sin ⁡ α = | [ a → ; b → ] | | a → | | b → | {displaystyle sin alpha ={leftvert [{vec {a}};{vec {b}}]rightvert over leftvert {vec {a}}rightvert leftvert {vec {b}}rightvert }}

Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) {displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})} ta có k a → = ( k a 1 ; k a 2 ; k a 3 ) {displaystyle k{vec {a}}=(ka_{1};ka_{2};ka_{3})}

Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) {displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})} và b → = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) {displaystyle {vec {b}}=(b_{1};b_{2};b_{3})} ta có

• a → + b → = ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ; a 3 + b 3 ) {displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3})}
• a → − b → = ( a 1 − b 1 ; a 2 − b 2 ; a 3 − b 3 ) {displaystyle {vec {a}}-{vec {b}}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3})}
• a → . b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 {displaystyle {vec {a}}.{vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}
• [ a → , b → ] = ( | a 2 a 3 b 2 b 3 | ; | a 3 a 1 b 3 b 1 | ; | a 1 a 2 b 1 b 2 | ) {displaystyle left[{vec {a}},{vec {b}}right]={big (}{begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}b_{2}&b_{3}end{vmatrix}};{begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}b_{3}&b_{1}end{vmatrix}};{begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}b_{1}&b_{2}end{vmatrix}})}

Cho đoạn thẳng AB có A ( x A ; y A ; z A ) {displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})} và B ( x B ; y B ; z B ) {displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})} , Khi đó I ( x A + x B 2 ; y A + y B 2 ; z A + z B 2 ) {displaystyle Ileft({x_{A}+x_{B} over 2};{y_{A}+y_{B} over 2};{z_{A}+z_{B} over 2}right)} là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho △ A B C {displaystyle bigtriangleup ABC} có A ( x A ; y A ; z A ) {displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})} , B ( x B ; y B ; z B ) {displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})} và C ( x C ; y C ; z C ) {displaystyle C(x_{C};y_{C};z_{C})} , khi đó G ( x A + x B + x C 3 ; y A + y B + y C 3 ; z A + z B + z C 3 ) {displaystyle Gleft({x_{A}+x_{B}+x_{C} over 3};{y_{A}+y_{B}+y_{C} over 3};{z_{A}+z_{B}+z_{C} over 3}right)} là tọa độ trọng tâm của △ A B C {displaystyle bigtriangleup ABC}

1. Sách giáo khoa Toán 7 tập 1
2. Sách giáo khoa Hình học lớp 10
3. Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao
4. Sách giáo khoa Hình học lớp 12
5. Sách giáo khoa Hình học lớp 12 nâng cao

• Không gian nhiều chiều
• Hình học phi Euclide
• Không-thời gian
• Hệ tọa độ cực
• Hình học Euclid

• Weisstein, Eric W., "Cartesian Coordinates" từ MathWorld.
• Đại số vectơ và phương pháp tọa độ Lưu trữ ngày 22 tháng 6 năm 2006 tại Wayback Machine