Cách tìm vi phân của hàm số (hay, chi tiết)

Bài viết Cách tìm vi phân của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm vi phân của hàm số.

Cách tìm vi phân của hàm số (hay, chi tiết)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Cho hàm có y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b). Giả sử Δx là số gia của x sao cho x + Δx ∈ (a; b)

Tích f '(x)Δx(hay y 'Δx) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x, ứng với số gia Δx, kí hiệu là df(x) hay dy

Chú ý. Vì dx = Δx nên:

dy = df(x) = f '(x)dx

Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng

Với |Δx| đủ nhỏ, ta có

hay Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f '(x0)Δx

Do đó f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f '(x0)Δx ≈ f(x0) + df(x0)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = sinx - 3cosx. Tính vi phân của hàm số.

Hướng dẫn:

Ta có dy = (sinx - 3cosx)’dx = (cosx + 3sinx)dx

Bài 2: Cho hàm số . Tính vi phân của hàm số đó.

Hướng dẫn:

Ta có

Bài 3: Xét hàm số y = Tính vi phân của hàm số đó.

Hướng dẫn:

Ta có :

Bài 4: Cho hàm số y = x3 - 5x + 6. Tính vi phân của hàm số đó.

Hướng dẫn:

Ta có

dy =(x3-5x+6)'dx = (3x2-5)dx

Bài 5: Cho hàm số y = 1/(3x3). Tính vi phân của hàm số đó

Hướng dẫn:

Ta có

Bài 6: Cho hàm số .Tính vi phân của hàm số đó.

Hướng dẫn:

Ta có

Bài 7: Cho hàm số . Tính vi phân của hàm số đó

Hướng dẫn:

Ta có

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm vi phân của hàm số y = xsinx + cosx

A. dy = xcosxdx

B. dy = xcosx

C. dy = (2sinx + xcosx)dx

D. dy = (sinx+cosx)dx

Lời giải:

Đáp án: A

Đáp án là A

y’ = sinx + xcosx - sinx = xcosx

do đó dy = xcosxdx

Bài 2: Tìm vi phân của hàm số

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn đáp án C

Bài 3: Cho hàm số f(x) = x2 - x + 2. Tính Δf(1) và df(1)nếu Δx = 0,1

A. Δf(1) = 0,11; df(1) = 0,2

B. Δf(1) = 0,11; df(1) = 0,1

C. Δf(1) = 0,2; df(1) = 0,11

D. Δf(1) = 0,2; df(1) = 0,1

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: Δf(1) = f(1+ 0.1) - f(1) = 0.11 và df(1) = f '(1).Δx = 0.1

Đáp án B

Bài 4: Tìm vi phân của hàm số y = (2x+1)5

A. dy = 10(2x+1)4

B. dy = 5(2x+1)4 dx

C. dy = (2x+1)4 dx

D. dy = 10(2x+1)4 dx

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: dy = f '(x)dx = 5(2x+1)4.2dx = 10(2x+1)4dx

Đáp án A

Bài 5: Tìm vi phân của hàm số y = cos3(1-x)

A. dy = -sin2(1-x)dx

B. dy = 3cos2(1-x).sin⁡(1-x)dx

C. dy = -3cos2(1-x)sin⁡(1-x)dx

D. dy = 3cos2(1-x)dx

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: dy = f '(x)dx = 3cos2⁡(1-x)(cos(1-x))' dx

= -3cos2⁡(1-x)sin(1-x) (1-x)' dx

= 3cos2⁡(1-x)sin(1-x)dx

Đáp án A

Bài 6: Tìm vi phân của hàm số

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Bài 7: Tính vi phân của hàm số y = sin3(2x+1)

A. dy = 3sin2(2x+1)cos⁡(2x+1)dx

B. dy = -6sin2(2x+1)cos⁡(2x+1)dx

C. dy = 6sin2(2x+1)cos⁡(2x+1)dx

D. dy = 3sin2(2x+1)cos⁡(2x+1)dx

Lời giải:

Đáp án: C

Đáp án C

Ta có: dy = f '(x)dx = 6sin2(2x+1)cos⁡(2x+1)dx

Bài 8: Cho hàm số y = f(x) = (x-1)2. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x)?

A. dy = 2(x - 1)dx

B. dy = (x-1)2 dx

C. dy = 2(x - 1)

D. dy = (2x - 1)dx

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có dy = f '(x)dx = 2(x-1)dx

Bài 9: Tìm vi phân của các hàm số y = x3 + 2x2

A. dy = (3x2-4x)dx

B. dy = (3x2+x)dx

C. dy = (3x2+2x)dx

D. dy = (3x2+4x)dx

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

dy = (3x2 + 4x)dx

Bài 10: Tìm vi phân của các hàm số

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Bài 11: Cho hàm số y = x3 - 9x2 + 12x - 5. Vi phân của hàm số là:

A. dy = (3x2-18x+12)dx

B. dy = (-3x2-18x+12)dx

C. dy = -(3x2-18x+12)dx

D. dy = (-3x2+18x-12)dx

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Ta có

dy = (x3-9x2+12x-5)'dx = (3x2-18x+12)dx

Bài 12: Tìm vi phân của các hàm số y = (3x+1)10

A. dy = 10(3x+1)9 dx

B. dy = 30(3x+1)10 dx

C. dy = 9(3x+1)10 dx

D. dy = 30(3x+1)9 dx

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

dy = 30(3x+1)9dx

Bài 13: Tìm vi phân của các hàm số y = sin2x + sin3⁡x

A. dy = (cos2x + 3 sin2⁡x cosx)dx

B. dy = (2cos2x + 3 sin2x cosx)dx

C. dy = (2cos2x + sin2⁡x cosx)dx

D. dy = (cos2x + sin2⁡x cosx)dx

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B

dy = (2cos2x+ 3sin2xcosx)dx

Bài 14: Tìm vi phân của các hàm số y = tan2x.

A. dy = (1 + tan22x)dx

B. dy = (1 - tan2⁡2x)dx

C. dy = 2(1 - tan2⁡2x)dx

D. dy = 2(1 + tan2⁡2x)dx

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

dy = 2(1+tan22x)dx

Bài 15: Tìm vi phân của các hàm số

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = sin2x. Vi phân của hàm số là:

A. dy = -sin2xdx.

B. dy = sin2xdx.

C. dy = sinxdx.

D. dy = 2cosdx.

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) = (x - 1)2. Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?

A. dy = 2(x - 1)dx.

B. dy = 2(x - 1).

C. dy = (x - 1)dx.

D. dy = (x -1)2dx.

Bài 3. Vi phân của hàm số f(x) = 3x2 - x tại điểm x = 2, ứng với Δx = 0,1 là?

Bài 4. Cho hàm số f(x) = sin3x + x2. Tính vi phân của hàm số tại x = π2.

Bài 5. Tìm vi phân của hàm số y = (x3 + 2x + 1)5.

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
• Dạng 3: Ý nghĩa của đạo hàm
• 40 bài tập trắc nghiệm Vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án (phần 1)
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án (phần 2)