Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp: Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

1. Hoán vị là gì?

Khái niệm hoán vị

Nếu tách riêng nghĩa từng từ ra, chúng ta có thể hiểu đơn giản rằng “hoán” trong từ hoán đổi và “vị” trong từ vị trí.

Ta cho một tập hợp X gồm n phần tử phân biệt với n ≥ 0. Mỗi một cách sắp xếp n phần tử của X theo thứ tự nào đó thì được gọi là một hoán vị của n phần tử.

Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.

Các dạng hoán vị thường gặp

Hoán vị lặp là gì?

2. Tổ hợp là gì?

Trong chương trình Toán học, tổ hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong một vài trường hợp chúng ta còn có thể đếm được số tổ hợp.

Tổ hợp chập k của n phần tử được hiểu là số những nhóm gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử, mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp các phần tử.

Với mỗi một tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phần tử (n > 0) được gọi là một tổ hợp chập k của n.

3. Chỉnh hợp là gì?

Chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự.

Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử. Tập con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp xếp theo thứ tự.

4. Mối quan hệ giữa tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị

Thông qua định nghĩa, chúng ta có thể thấy tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị có một mối liên hệ với nhau.

Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng cách thực hiện 2 bước như sau:

• Bước 1: Lấy 1 tổ hợp chập k của n phần tử.

• Bước 2: Hoán vị k phần tử.

Do đó chúng ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị như sau:

$A^{k}n=C^{k}nP_{k}$

Tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị là những kiến thức có thể xuất hiện trong một số đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán những năm qua. Chính vì vậy đây là phần kiến thức mà các em học sinh cũng cần phải nắm được trong quá trình ôn thi.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

5. Quy tắc đểm tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị

Quy tắc đếm tổ hợp

Cho một tập hợp A bao gồm có n phần tử với n > 0. Một tổ hợp chập k bất kì của các phần tử thuộc tập hợp A là một tập hợp con có k phần tử của A ; 0 ⩽ k ⩽ n ; k ∈ N.

Số tổ hợp được tính theo công thức sau: n!(n-k)!

Quy tắc đếm chỉnh hợp

Cho một tập hợp A bao gồm n phần tử; n⩾1.

Một chỉnh hợp chập k các phần tử của tập hợp A là một cách sắp xếp k phần tử khác nhau của A trông đó 1⩽k⩽n và k ∈ N

Số chỉnh hợp được tính theo công thức: n!k!(n-k)!

Quy tắc đếm hoán vị

Với tập hợp bao gồm có n phần tử khác nhau, ta có thể thiết lập được một hoán vị của r phần tử từ tập hợp này như sau:

Chọn phần tử đầu tiên, ta có tổng cộng n cách;

Chọn phần tử thứ hai, ta có n-1 cách xếp hoán vị;

...

Tương tự trong trường hợp ta chọn phần tử thứ r, ta sẽ có r-1 cách xếp hoán vị.

• Trong trường hợp r = n, ta có được công thức tính số lượng các hoán vị khác nhau của n phần tử với công thức: P(n) = n!
• Trong trường hợp r<n số hoán vị được tính theo công thức sau: P(n,r)= n!(n-r)!

6. Công thức tính hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

5.1. Công thức tính chỉnh hợp

Theo những định nghĩa nêu trên, ta có số chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử với $1leq kleq n$ với công thức:

$A^{k}n=frac{n!}{(n-k)!}=n.(n-1)(n-2)...(n-k+1)$

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp ba bạn Hưng, Hoàng, Hiếu vào hai chỗ ngồi cho trước?

Giải: $A_{3}^{2}=frac{3!}{(3-2)!}=3!=6$ cách

Ví dụ 2: Sẽ có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số (1,2,3,4,5,6,7)?

Giải: Ta có mỗi một số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy ra từ 4 chữ số từ tập A={1;2;3;4;5;6;7} và sắp xếp chúng theo thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy sẽ được coi là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.

Vậy số các số cần tìm là các số: $A_{7}^{4}$=840 số

5.2. Công thức tổ hợp

Ta có tổ hợp chập k của n phần tử ($1leq kleq n$) là :

$C^{k}n=frac{n!}{k!(n-k)!}=frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$

Trong đó có kn và có kết quả bằng 0 khi có k > n.

Ví dụ về tổ hợp số 1: Ông A có 11 người bạn. Ông A muốn mời 5 người trong họ đi chơi. Trong 11 người có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời?

Giải: Ông A chỉ mời 1 trong 2 người bạn đó và mời thêm 4 trong số 9 người bạn còn lại, ta có: $2.C_{4}^{9}$=252

Ông A không mời 2 người bạn đó mà chỉ mời 5 trong số 9 người bạn kia, ta có: $C_{5}^{9}$=126

Như vậy tổng cộng ông A có 252+126=378 cách mời.

Ví dụ về tổ hợp số 2: Một bàn học sinh có 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật?

Mỗi một cách chọn ra 2 bạn để làm công việc trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy chúng ta có số cách chọn là: $C_{5}^{2}$=10.

>> Xem thêm: Công thức tính tổ hợp xác suất và các dạng bài tập

5.3. Công thức tính hoán vị

Ở công thức hoán vị rất đơn giản, khi cho tập hợp gồm n phần tử (n > 0), chúng ta có được công thức hoán vị của n phần tử đã cho là:

Pn=n!

Ví dụ 1: Cho một tập hợp A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập hợp A chúng ta có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số phân biệt?

Giải: Áp dụng theo công thức $P_{n}$=n! ta có: $P_{5}$=5!=120 số

Ví dụ 2: Hãy tính số cách xếp 10 bạn học sinh thành một hàng dọc.

Giải: Mỗi cách xếp 10 bạn học sinh thành hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử.

Vậy số cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc là $P_{10}$=10!

VUIHOC đã giúp các em nắm rõ hơn về lý thuyết công thức tổ hợp chỉnh hợp và hoán vị trong chương trình Toán 11. Bên cạnh đó, nền tảng học online Vuihoc.vn có những khóa học và ôn thi đại học dành cho học sinh lớp 11, các em có thể đăng ký khóa học để bổ sung thêm nhiều kiến thức bổ ích của môn Toán nhé! Chúc các bạn học tập thật tốt.

Bài viết có thể tham khảo thêm:

Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

Quy Tắc Đếm

Nhị thức Niu-tơn