Lý thuyết về phân thức đại số

1. Phân thức đại số

Định nghĩa

Chú ý:

Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng $1$ .

Ví dụ:

(dfrac{x}{{x + 1}}) là một phân thức đại số. Số (2) cũng là một phân thức đại số dưới dạng (dfrac{2}{1}.)

Hai phân thức bằng nhau

Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Quy tắc đổi dấu

Ngoài ra, ta còn có một số quy tắc sau:

+ Đổi dấu tử số và đổi dấu phân thức: $dfrac{A}{B} = - dfrac{{ - A}}{B}$

+ Đổi dấu mẫu số và đổi dấu phân thức: $dfrac{A}{B} = - dfrac{A}{{ - B}}$

+ Đổi dấu mẫu : (dfrac{A}{{ - B}} = - dfrac{A}{B})

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 2: Tìm giá trị của biến số (x) để phân thức(dfrac{A}{B}) nhận giá trị (m) cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: (B ne 0)

Bước 2: Từ giả thiết ta có (dfrac{A}{B} = m) . Từ đó tìm được (x.)

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Dạng 3: Chứng minh hai phân thức bằng nhau. Tìm các giá trị của (x) để hai phân thức bằng nhau.

Phương pháp:

Ta sử dụng các kiến thức sau:

+ Với hai phân thức (dfrac{A}{B}) và (dfrac{C}{D})(left( {B ne 0,,D ne 0} right)), ta nói (dfrac{A}{B} = dfrac{C}{D}) nếu $A.D = B.C$

+ (dfrac{A}{B} = dfrac{{A.M}}{{B.M}}) ($M$ là một đa thức khác $0$ )

+ (dfrac{A}{B} = dfrac{{A:N}}{{B:N}}) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0.$)

+ $dfrac{A}{B} = dfrac{{ - A}}{{ - B}}.$

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Biểu thức nào sau đây không là phân thức đại số?

A. (frac{1}{{left( {{x^2} + 1} right)}})

B. (frac{1}{{left( {{x^2} + 1} right)}})

C. ({x^2} - 3x + 1)

D. (frac{{{x^2} + 4}}{0})

Lời giải

(frac{1}{{left( {{x^2} + 1} right)}}) có (A = 1;,B = {x^2} + 1 > 0forall x Rightarrow frac{1}{{{x^2} + 1}}) là phân thức đại số

(frac{{x + 3}}{5}) có (A = x + 3;,B = 5 Rightarrow frac{{x + 3}}{5}) là phân thức đại số

({x^2} - 3x + 1) có (A = {x^2} - 3x + 1;,B = 1 Rightarrow {x^2} - 3x + 1) là phân thức đại số

(frac{{{x^2} + 4}}{0}) có (A = {x^2} + 4;,B = 0 Rightarrow frac{{{x^2} + 4}}{0}) không là phân thức đại số

Đáp án D

Câu 2. Cặp phân thức nào sau đây bằng nhau?

A. (frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}}) và (frac{{xy}}{{3y}})

B. (frac{{ - {x^2}y}}{{xy}}) và (frac{{3y}}{{xy}})

C. (frac{3}{{24x}}) và (frac{{2y}}{{16xy}})

D. (frac{{3xy}}{5}) và (frac{{3{x^2}y}}{{5y}})

Lời giải

Ta có: (frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}} = frac{{ - x}}{3};,frac{{xy}}{{3y}} = frac{x}{3}) Vì (frac{{ - x}}{3} ne frac{x}{3} ) nên ( frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}} ne frac{{xy}}{{3y}}) Ta có: (frac{{ - {x^2}y}}{{xy}} = - x;,frac{{3y}}{{xy}} = frac{3}{x}) Vì ( - x ne frac{3}{x} ) nên ( frac{{ - {x^2}y}}{{xy}} ne frac{{3y}}{{xy}}) Ta có: (frac{3}{{24x}} = frac{1}{{8x}};,frac{{2y}}{{16xy}} = frac{1}{{8x}} ) Suy ra ( frac{3}{{24x}} = frac{{2y}}{{16xy}}) Vì (frac{{3{x^2}y}}{{5y}} = frac{{3{x^2}}}{5} ne frac{{3xy}}{5} ) nên ( frac{{3xy}}{5} ne frac{{3{x^2}y}}{{5y}})

Đáp án C

Câu 3. Với điều kiện nào của (x) thì phân thức (frac{{5{rm{x}} - 7}}{{{x^2} - 9}}) có nghĩa?

A. (x ne 3)

B. (x ne frac{7}{5})

C. (x ne - 3)

D. (x ne pm 3)

Lời giải

Phân thức (frac{{5{rm{x}} - 7}}{{{x^2} - 9}}) có nghĩa khi ({x^2} - 9 ne 0 ) hay ( x ne pm 3)

Đáp án D

Câu 4. Phân thức (frac{{7x + 2}}{{5 - 3x}}) có giá trị bằng (frac{{11}}{7}) khi (x) bằng:

A. 1

B. (frac{1}{2})

C. 2

D. Không có giá trị (x) thỏa mãn

Lời giải

Điều kiện: (5 - 3x ne 0 Leftrightarrow x ne frac{5}{3})

Để (frac{{7x + 2}}{{5 - 3x}} = frac{{11}}{7} Leftrightarrow left( {7x + 2} right)7 = 11left( {5 - 3x} right) Leftrightarrow 49x + 14 = 55 - 33x)

( Leftrightarrow 82x = 41 Leftrightarrow x = frac{1}{2}) (thỏa mãn điều kiện)

Đáp án B

Câu 5. Tìm (a) để (frac{{a{x^4}{y^4}}}{{ - 4x{y^2}}} = frac{{{x^3}{y^3}}}{{4y}}):

A. (a = - 2x)

B. (a = - x)

C. (a = - y)

D. (a = - 1)

Lời giải

Ta có: (a{x^4}{y^4}.4y = 4a{x^4}{y^5}) và ( - 4x{y^2}.{x^3}{y^3} = - 4{x^4}{y^5})

Để (frac{{a{x^4}{y^4}}}{{ - 4x{y^2}}} = frac{{{x^3}{y^3}}}{{4y}})thì (4a{x^4}{y^5} = - 4{x^4}{y^5}).

Do đó (4a = - 4) nên (a = - 1)

Đáp án D

Câu 6. Hãy tìm phân thức (frac{P}{Q}) thỏa mãn đẳng thức: (frac{{left( {5x + 3} right)P}}{{5x - 3}} = frac{{left( {2x - 1} right)Q}}{{25{x^2} - 9}})

A. (frac{P}{Q} = frac{{{{left( {2x - 1} right)}^2}}}{{5x + 3}})

B. (frac{P}{Q} = frac{{{{left( {2x - 1} right)}^2}}}{{{{left( {5x + 3} right)}^2}}})

C. (frac{P}{Q} = frac{{2x - 1}}{{{{left( {5x + 3} right)}^2}}})

D. (frac{P}{Q} = frac{{2x - 1}}{{{{left( {5x - 3} right)}^2}}})

Lời giải

(frac{{left( {5x + 3} right)P}}{{5x - 3}} = frac{{left( {2x - 1} right)Q}}{{25{x^2} - 9}} frac{{left( {5x + 3} right)P}}{{5x - 3}} = frac{{left( {2x - 1} right)Q}}{{left( {5x + 3} right)left( {5x - 3} right)}})

Suy ra (left( {5x + 3} right)Pleft( {5x + 3} right)left( {5x - 3} right) = left( {2x - 1} right)Qleft( {5x - 3} right))

( {left( {5x + 3} right)^2}P = left( {2x - 1} right)Q frac{P}{Q} = frac{{2x - 1}}{{{{left( {5x + 3} right)}^2}}})

Đáp án C

Câu 7. Điều kiện để phân thức (frac{{2x - 5}}{3} < 0) là?

A. (x > frac{5}{2})

B. (x < frac{5}{2})

C. (x < - frac{5}{2})

D. (x > 5)

Lời giải

Để (frac{{2x - 5}}{3} < 0) thì (2x - 5 < 0)

Suy ra (2x < 5)

Do đó (x < frac{5}{2})

Đáp án B

Câu 8. Đưa phân thức (frac{{frac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - frac{4}{3}}}) về phân thức có tử và mẫu là các đa thức với hệ số nguyên.

A. (frac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}})

B. (frac{{x - 2}}{{3{x^2} - 4}})

C. (frac{{x - 6}}{{{x^2} - 4}})

D. (frac{{3x - 2}}{{3{x^2} - 4}})

Lời giải

Ta có: (frac{{frac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - frac{4}{3}}} = frac{{3left( {frac{1}{3}x - 2} right)}}{{3left( {{x^2} - frac{4}{3}} right)}} = frac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}})

Đáp án A

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất của phân thức (A = frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}})

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

Lời giải

Ta có: ({x^2} - 2x + 5 = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {left( {x - 1} right)^2} + 4)

Vì ({left( {x - 1} right)^2} ge 0forall x) nên ({left( {x - 1} right)^2} + 4 ge 4forall x) hay ({x^2} - 2x + 5 ge 4)

( Rightarrow frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}} le frac{{16}}{4} Leftrightarrow A le 4)

Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow {left( {x - 1} right)^2} = 0 Leftrightarrow x = 1)

Vậy với (x = 1) thì (A) đạt giá trị lớn nhất là 4.

Đáp án B

Câu 10. Cho (4{a^2} + {b^2} = 5ab) và (2a > b > 0). Tính giá trị của biểu thức (A = frac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}).

A. (frac{1}{9})

B. (frac{1}{3})

C. 3

D. 9

Lời giải

Ta có: (4{a^2} + {b^2} = 5ab Leftrightarrow 4{a^2} - 5ab + {b^2} = 0 Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab - ab + {b^2} = 0)

( Leftrightarrow 4aleft( {a - b} right) - bleft( {a - b} right) = 0 Leftrightarrow left( {4a - b} right)left( {a - b} right) = 0)

Do (2a > b > 0 Rightarrow 4a > b Rightarrow 4a - b > 0)

( Rightarrow a - b = 0 Leftrightarrow a = b)

Vậy (A = frac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}} = frac{{a.a}}{{4{a^2} - {a^2}}} = frac{{{a^2}}}{{3{a^2}}} = frac{1}{3})

Đáp án B