Lý thuyết sự tương giao đồ thị hàm số

Dạng toán tương giao đồ thị hàm số là dạng toán vô cùng quen thuộc đối với các bạn học sinh. Dạng toán này xuất hiện thường xuyên trong các bài thi quang trọng. Vì vậy các bạn hãy nắm chắc lý thuyết và biết cách giải bài tập của dạng toán này để đạt điểm tối đa trong các bài kiểm tra. Sau đây hãy cùng CMath tìm hiểu và ôn tập về sự tương giao của đồ thị hàm số nhé.

Lý thuyết sự tương giao đồ thị hàm số

Giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình y = f(x) và y = g(x).

Phương trình hoành độ giao điểm: cho f(x) = g(x) (1)

Tương giao đồ thị hàm số chính là số giao điểm của 2 đồ thị bằng nghiệm của phương trình (1).

Tương giao đồ thị hàm số phân thức bậc nhất (C): y = (ax + b)/(cx + d) và đường thẳng d: y = kx + m.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm như sau:

(ax + b)/(cx + d) = kx + m ⇔ Ax^2 + Bx + c = 0 (1)

Đường thẳng d: y = kx + m cắt (C): y = (ax + b)/(cx + d) tại 2 điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -d/c.

Lúc này ta thấy hoành độ giao điểm của phương trình giao điểm thỏa mãn hệ thức Viet của phương trình (1).

Tương giao đồ thị hàm số phân thức bậc ba (C): y = ax^3 + bx^2 + cx + d và đường thẳng d: kx + m

Ta có phương trình hoành độ giao điểm như sau: ax^3 + bx^2 + cx + d = kx + m (1)

Ta nhẩm nghiệm x = x0 rồi đưa về phương trình với dạng (x - x0)(Ax^2 + Bx + c) = 0 ⇔ x = x0 hoặc Ax^2 + Bx + c = 0 (2)

Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác với x0.

Ví dụ trong trường hợp A(x0; kx0 + m); B(x1; kx1 + m); C(x2; kx2 + m) Là tọa độ của 3 điểm giao nhau giữa đường thẳng d và đồ thị (C).

Khi đó nghiệm x1; x2 sẽ thỏa mãn định lý Viet: x1 + x2 = -B/A và x1.x2 = C/A

Tương giao đồ thị hàm số phân thức bậc bốn trùng phương (C): y = ax^4 + bx^2 + c và đường thẳng d: y = m

Ta có phương trình hoành độ giao điểm như sau: ax^4 + bx^2 + c = m (1)

Ta đặt t = x^2 (t 0), sau đó đưa phương trình (1) về dưới dạng at^2 + bt + c - m = 0 (2)

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Tìm điểm giao nhau giữa 2 đồ thị hàm số.

Lý thuyết

Hàm số y = f(x) có đồ thị (C1), hàm số y = g(x) có đồ thị (C2). Chúng ta thực hiện các bước sau đây để tìm giao điểm của 2 đồ thị hàm số:

• Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hàm số f(x) = g(x).
• Bước 2: Giải phương trình hoành độ giao điểm và tìm được x, từ đó suy ra y và suy ra điểm giao của 2 đồ thị.

Bài tập

Bài tập 1: Tìm giao điểm của đồ thị (C): y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 và d: y = 1

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3

Hướng dẫn giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm, ta được: x^3 - 3x^2 + 2x + 1 = 1 ⇔ x^3 - 3x^2 + 2x = 0 ⇔ x=0; x = 2 hoặc x = 2.

Suy ra có 3 giao điểm → chọn đáp án D.

Bài tập 2: Ta gọi giao điểm của trục hoành và đồ thị (C): y = x^4 + 2x^2 +3 là A(x1;y1), B(x2;y2). Tính tổng x1 + x2?

1. 0
2. 1
3. 2
4. 4

Hướng dẫn giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm, ta được: x^4 + 2x^2 +3 = 0 ⇔ x^2 = 1 hoặc x^2 = -3 → x = 1 hoặc x = -1.

Suy ra có 2 giao điểm A(-1;0) và B(1;0) → x1 + x2 = 0 → chọn đáp án A.

Bìa tập 3: Tìm giao điểm của hàm số (C): y = (x^2 - 2x - 3)/(x - 1) và đường thẳng y = x+ 1.

1. (-1;0)
2. (2;3)
3. (1;2)
4. (4;5)

Hướng dẫn giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm để tìm tương giao đồ thị hàm số, ta được: (x^2 - 2x - 3)/(x - 1) = x + 1 (điều kiện x khác -1).

→ x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 1)

⇔ x^2 - 2x - 3 = x^2 -1

⇔ -2x = 2 → x = 1 → y = 0

Chọn đáp án A.

Dạng 2: Biện luận theo tham số m.

Lý thuyết

Các bước thực hiện tương giao đồ thị hàm số theo phương pháp cô lập tham số m:

• Bước 1: Lập một phương trình hoành độ giao điểm có dạng F(x;m) = 0
• Bước 2: Cô lập tham số m rồi đưa về f(m) = g(x)
• Bước 3: Lập bảng biến thiên đối với hàm y = g(x)
• Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên và yêu cầu của đề bài để suy ra các giá trị của m thỏa mãn.

Phương pháp cô lập tham số m sử dụng các tính chất đặc trưng của phương trình tương giao đồ thị hàm số.

• Phương trình bậc 2 ax^2 + bx + c = 0

• Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt nếu > 0
• Phương trình trên có 1 nghiệm khi = 0
• Phương trình trên vô nghiệm khi < 0

• Phương trình bậc 3 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

• Nếu đoán được nghiệm x = x0 của phương trình tương giao đồ thị hàm số ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner để phân tích thành nhân tử.

Khi đó: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ⇔ x = x0 hoặc ax^2 + b’x + c’ = 0 (*)

Dựa vào yêu cầu đề bài, giải phương trình (*).

• Nếu không nhẩm được nghiệm hoặc không cô lập được tham số m thì bài toán giải quyết theo phương pháp dùng cực trị của hàm số.

• Phương trình trùng phương có dạng như sau: ax^4 + bx^2 + c = 0

• Đặt t = x^2 (điều kiện t 0), phương trình ⇔ at^2 + bt + c = 0 (2)
• Để phương trình có đúng 1 nghiệm thì (2) có 2 nghiệm thỏa mãn t1 < 0 = t2 hoặc t1 = t2 = 0
• Để phương trình có 2 nghiệm thì (2) có nghiệm nghiệm thỏa mãn t1 < 0 < t2 hoặc 0 < t1 = t2
• Để phương trình có 3 nghiệm thì (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 0 = t1 < t2
• Để phương trình có 4 nghiệm thì (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 0 < t1 < t2

Bài tập

Cho hàm số sau: y = 2x^3 - 3mx^2 + (m - 1)x +1 có đồ thị là (C). Tìm tham số m sao cho d: y = -x + 1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.

1. (-;0) (8/9;)
2. (-;-8/9) (0;)
3. (0;8/9)
4. (-8/9;0)

Hướng dẫn giải:

Dạng 3: Tìm tham số m để giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Lý thuyết

Có đồ thị của 2 hàm số là y = f(x) và y = g(x)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm tương giao đồ thị hàm số là f(x) = g(x)

Bài tập

Cho hàm số sau: y = x^4 - (3m +2)x^2 + 3m có đồ thị (C). Tìm tham số m để d: y = -1 cắt (C) tại 4 điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.

1. m khác 0
2. -⅓ < m < 1
3. -2 < m < ⅓
4. A và B đúng

Hướng dẫn giải:

Dạng 4: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số.

Lý thuyết

• Tương giao đồ thị hàm số 2 hàm số (C1) và (C2) có đồ thị lần lượt là y = f(x) và y = g (x). Giao điểm của 2 đồ thị là nghiệm của phương trình f(x) = g (x).
• Y = m là đường thẳng qua điểm M(0;m) và song song với Ox. Nhìn vào bảng biến thiên tương giao đồ thị hàm số ta thấy được số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị (C).

Bài tập

Cho hàm số y = f(x) được xác định trên R và đồ thị bên dưới. Tìm giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f(x) + m + 1 = 0 có 1 nghiệm duy nhất.

1. m > 0 hoặc m < 4
2. -4 < m < 0
3. m < -4 hoặc m > 0
4. m > 4 hoặc m < 0

Hướng dẫn giải:

Dạng 5: Tiếp xúc giữa 2 đường cong

Lý thuyết

• Đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình f(x) = g(x) và f’(x) = g’(x) có nghiệm và nghiệm là hoành độ tiếp điểm của 2 đường cong đó.
• Nếu 2 đường cong tiếp xúc tại M(x0;y0), khi đó phương trình tiếp tuyến tương giao đồ thị hàm số chung của 2 đồ thị y = g’(x0)(x - x0) + y0.

Bài tập

Cho 2 đường cong y = x^3 - x + 1 và y = x^2 - 5/4x + 1. Chứng minh rằng 2 đường cong tiếp xúc tại 1 điểm M nào đó. Tìm tọa độ của tiếp điểm M và viết phương trình tiếp tuyến chung tương giao đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

>>> Tham khảo thêm:

Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Lý thuyết đầy đủ về hàm số lượng giác

Hàm số và đồ thị hàm số y = a.x (a ± 0). Phương pháp giải bài tập hay!

Tạm kết

Bài viết trên đây CMath đã thông tin đến bạn lý thuyết và bài tập vận dụng về tương giao đồ thị hàm số. Đây là dạng toán rất thường gặp và có nhiều phương pháp giải khác nhau, bạn cần lưu ý thật kỹ và làm bài tập để ghi nhớ các phương pháp giải toán. Hy vọng các thông tin trên là hữu ích và giúp cho bạn đạt được điểm tối đa trong các kỳ thi.