Các dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số chọn lọc

Phần Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán lớp 12 sẽ tổng hợp Lý thuyết, các dạng bài tập chọn lọc giúp ôn thi Tốt nghiệp môn Toán và trên 1000 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số tương ứng.

Các dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số chọn lọc

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST

• Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x)
• Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số
• Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị của hàm số
• Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm cực trị của hàm số f(x)
• Một số bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số
• Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số
• Một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị
• Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số khi biết đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên
• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng
• Một số bài toán thực tế ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Một số bài toán hàm hợp liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Sử dụng đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận
• Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số
• Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Nhận dạng đồ thị hàm số
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 chương trình sách mới hay khác:

• Các dạng bài tập Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
• Các dạng bài tập Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm
• Các dạng bài tập Nguyên hàm và tích phân
• Các dạng bài tập Phương pháp tọa độ trong không gian
• Các dạng bài tập Xác suất có điều kiện

Lưu trữ: Các dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (sách cũ)

Các dạng bài tập

• Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Các dạng bài tập về cực trị của hàm số
• Các dạng bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Các dạng bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số
• Các dạng bài tập nhận dạng đồ thị hàm số
• Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số
• Các dạng bài tập về sự tương giao của đồ thị hàm số
• Các dạng bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cách xét tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp giải

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.

Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 - 6x2 + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y' = 3x2 - 12x + 9

y' = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y' = y' = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R{1}.

Tìm y' = > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

Cách tìm cực trị của hàm số

Phương pháp giải

1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K{x0}, với h >0.

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.

Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y =

Hướng dẫn

Tập xác định D = R{2}. Tính

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

Kí hiệu:

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

Kí hiệu:

2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x)trên K.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận

3. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈[a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3.Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b)

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3. Tính

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 2 trên đoạn [-2; 2].

Hướng dẫn

Ta có: y' = 3x2 - 6x - 9 = 0 ⇔

Mà y(-2) = 0; y(2) = -20; y(-1) = 7.

Suy ra

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hướng dẫn

Tập xác định: D = [-2; 2]. Ta có:

Khi đó y' = 0 ⇔

Có y(√2) = 2√2, y(2) = 2 ,y(-2) = -2.

Vậy

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - sin⁡2x trên đoạn [π/2; π]

Hướng dẫn

Ta có y' = 1 - 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ.

Xét x ∈[(-π)/2; π] ta được x = ±π/6; x = 5π/6.

f((-π)/2) = -π/2; f(π) = π; f((-π)/6) = -π/6 + √3/2; f(π/6) = π/6 - √3/2; f(5π/6) = 5π/6 + √3/2.

Suy ra

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:

Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Bài 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x2 - 2x - 3.

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ là f'(x) = x2(x - 1). Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Bài 4. Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Hỏi hàm số y = f(5 - 2x) đồng biến trên khoảng nào?

Bài 5. Vẽ đồ thị hàm số và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 - 3x2.

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:

• Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và hàm số logarit
• Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng
• Số phức
• Khối đa diện
• Mặt nón - Mặt trụ - Mặt cầu
• Phương pháp tọa độ trong không gian