Xác định Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng trong không gian – Bài tập có đáp án chi tiết.

Xác định Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng trong không gian - Bài tập có đáp án.

Cách xét vị trí tương đối của 2 mặt phẳng trong không gian oxyz

Cho 2 mặt phẳng $(P):,Ax+By+Cz+D=0$ và $(Q):,A'x+B'y+C'z+D'=0$

Ta có:

$begin{array} {} (P)equiv (Q)Leftrightarrow frac{A}{A'}=frac{B}{B'}=frac{C}{C'}=frac{D}{D'} {} (P)//(Q)Leftrightarrow frac{A}{A'}=frac{B}{B'}=frac{C}{C'}ne frac{D}{D'} {} end{array}$

(P) cắt (Q) $Leftrightarrow A:B:Cne A':B':C'$

Đặc biệt: $(P)bot (Q)Leftrightarrow overrightarrow{{{n}_{(P)}}}.overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=0Leftrightarrow A.A'+B.B'+C.C'=0$

Nếu $(P)//(Q)$ thì vecto pháp tuyến $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}$ của mặt phẳng (P) cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Ngược lại vectơ pháp tuyến $overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}$ của mặt phẳng (Q) cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Nếu $(P)bot (Q)$ thì $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}bot overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}$ .

Bài tập xét vị trí tương đối hai mặt phẳng trong không gian có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P):x-y+z-2=0$ song song với mặt phẳng $(Q):2x-({{m}^{2}}+1)y+(3{{m}^{2}}-1)z-4m=0$ khi:

A. $m=1.$ B. $m=-1.$ C. $left[ begin{array} {} m=1 {} m=2 end{array} right..$ D. Đáp án khác.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có: $(P)//(Q)Rightarrow frac{2}{1}=frac{{{m}^{2}}+1}{1}+frac{3{{m}^{2}}-1}{1}ne frac{-4m}{-1}Leftrightarrow m=-1.$

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P):x-2y+z+1=0$ trùng với mặt phẳng $(Q):(2{{m}^{2}}-1)x-({{m}^{2}}+1)y+(2-m)z+3m-2=0$ khi:

A. $m=-1.$ B. $m=2.$ C. $m=1.$ D. Đáp án khác.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có: $(P)equiv (Q)Rightarrow frac{2{{m}^{2}}-1}{1}=frac{{{m}^{2}}+1}{2}+frac{2-m}{1}=frac{3m-2}{1}Leftrightarrow m=1.$

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):{{m}^{2}}x-y+({{m}^{2}}-2)z+2=0$và $(Q):2x+{{m}^{2}}y-2z+1=0$ . Với m là tham số, $min mathbb{R}$. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) khi m thỏa mãn

A. $left| m right|=sqrt{2}.$ B. $left| m right|=1.$ C. $left| m right|=2.$ D. $left| m right|=sqrt{3}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Các vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: $overrightarrow{{{n}_{1}}}({{m}^{2}};-1;{{m}^{2}}-2),overrightarrow{{{n}_{2}}}(2;{{m}^{2}};-2)$

$(P)bot (Q)Leftrightarrow overrightarrow{{{n}_{1}}}.overrightarrow{{{n}_{2}}}=0Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-{{m}^{2}}-2({{m}^{2}}-2)=0Leftrightarrow {{m}^{2}}=4Leftrightarrow left| m right|=2$

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):2x+ay+3z-5=0$ và $(Q):4x-y-(a+4)z+1=0.$ Tìm a để (P) và (Q) vuông góc với nhau.

A. $a=0.$ B. $a=1.$ C. $a=frac{1}{3}.$ D. $a=-1.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có $overrightarrow{{{n}_{P}}}=(2;a;3)$ và $overrightarrow{{{n}_{Q}}}=(4;-1;-(a+4))$ khi đó

$(P)bot (Q)Leftrightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}.overrightarrow{{{n}_{Q}}}=8-a-3(a+4)=0Leftrightarrow a=-1$

Bài tập 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng $(alpha ):x+y-z+1=0$ và $(beta ):-2x+my+2z-2=0.$ Tìm m để $(alpha )$ song song với $(beta )$

A. $m=2.$ B. $m=5.$ C. Không tồn tại. D. $m=-2.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Hai mặt phẳng đã cho song song nên $frac{-2}{1}=frac{m}{1}=frac{2}{-1}ne frac{-2}{1}$ do không tồn tại giá trị của tham số m

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):3x+3y-z+1=0$ và hai mặt phẳng $(Q):(m-1)x+y-(m-2)z+5=0$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau.

A. $m=frac{1}{2}.$ B. $m=-frac{1}{2}.$ C. $m=2.$ D. $m=-frac{3}{2}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Để mp $(P)bot mp(Q)Leftrightarrow overrightarrow{{{n}_{(P)}}}.overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=0Leftrightarrow 3(m-1)+3+m+2=0Leftrightarrow m=-frac{1}{2}.$