Lý thuyết xác suất và biến cố
1. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử (A) là biến cố liên quan đến phép thử (T) và phép thử (T) có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số (frac{n(A)}{n(Omega )}) là xác suất của biến cố (A), kí hiệu là
(P(A)) = (frac{n(A)}{n(Omega )})
Trong đó,
+) (n(A)) là số phần tử của tập hợp (A), cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử (T) thuận lợi cho biến cố (A);
+) (n(Ω)) là số phần tử của không gian mẫu (Ω), cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử (T).
Ví dụ:
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để mặt xuất hiện là mặt có số chia hết cho (3).
Hướng dẫn:
Không gian mẫu (Omega = left{ {1;2;3;4;5;6} right})
( Rightarrow nleft( Omega right) = 6).
Biến cố (A:) Mặt xuất hiện có số chia hết cho (3).
Khi đó (A = left{ {3;6} right})
( Rightarrow nleft( A right) = 2).
Vậy xác suất (Pleft( A right) = frac{{nleft( A right)}}{{nleft( Omega right)}} = frac{2}{6} = frac{1}{3}).
2. Các tính chất cơ bản của xác suất
2.1 Định lí
a) (P(phi) = 0; P(Ω) = 1).
b) (0 ≤ P(A) ≤ 1), với mọi biến cố (A).
c) Nếu (A) và (B) xung khắc với nhau, thì ta có
(P(A ∪ B) = P(A) + P(B)) (công thức cộng xác suất).
2.2 Hệ quả
Với mọi biến cố (A), ta luôn luôn có: (P)((overline{A})) = (1 - P(A)).
3. Hai biến cố độc lập
Định nghĩa
Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia).
Định lí
Nếu (A, B) là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho (P(A) > 0),
(P(B) > 0) thì ta có:
a) (A) và (B) là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:
(P(A . B) = P(A) . P(B))
Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.
b) Nếu (A) và (B) độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:
(A) và (overline{B}), (overline{A}) và (B), (overline{A}) và (overline{B}).
Ví dụ:
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất các biến cố sau:
(A:) “Lần thứ nhất xuất hiện mặt (4) chấm”
(B:) “Lần thứ hai xuất hiện mặt (4) chấm”
Từ đó suy ra hai biến cố (A) và (B) độc lập.
Hướng dẫn
Không gian mẫu: (Omega = left{ {left( {i;j} right),i,j in mathbb{Z},1 le i le 6,1 le j le 6} right})
( Rightarrow nleft( Omega right) = 6.6 = 36).
Biến cố (A:) “Lần thứ nhất xuất hiện mặt (4) chấm”
(A = left{ {left( {4;1} right),left( {4;2} right),left( {4;3} right),left( {4;4} right),left( {4;5} right),left( {4;6} right)} right})
( Rightarrow nleft( A right) = 6)
( Rightarrow Pleft( A right) = frac{{nleft( A right)}}{{nleft( Omega right)}} = frac{6}{{36}} = frac{1}{6}).
Biến cố (B:) “Lần thứ hai xuất hiện mặt (4) chấm”
(B = left{ {left( {1;4} right),left( {2;4} right),left( {3;4} right),left( {4;4} right),left( {5;4} right),left( {6;4} right)} right})
( Rightarrow nleft( B right) = 6)
( Rightarrow Pleft( B right) = frac{{nleft( B right)}}{{nleft( Omega right)}} = frac{6}{{36}} = frac{1}{6}).
Gọi (C = A.B) là biến cố: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt (4) chấm”.
Khi đó (C = left{ {left( {4;4} right)} right})
( Rightarrow Pleft( {A.B} right) = frac{{nleft( C right)}}{{nleft( Omega right)}} = frac{1}{{36}}).
Dễ thấy (Pleft( {A.B} right) = Pleft( A right).Pleft( B right)) nên (A,B) là hai biến cố độc lập.
Loigiaihay.com
Ý kiến bạn đọc
Bài viết xem nhiều
-

Phân tích truyện ngắn Lặng Lẽ Sa Pa của Nguyễn Thành Long
-

Top những bài thơ tự do hay, cảm xúc
-

Vẽ Tranh Chống Bạo Lực Học Đường: Cùng Các Em Lan Tỏa Thông Điệp
-
100+ bài thơ chúc Tết hay, ngắn gọn và ý nghĩa nhất 2026
-
Top 20 Viết đoạn văn thể hiện tình cảm, cảm xúc về một câu chuyện lớp 5 (điểm cao)
-

Phong cách sáng tác của Tố Hữu: Chất thơ Trữ tình, chính trị
-

Những bài văn nlxh đạt giải quốc gia pdf
-
Viết bài văn thuyết minh về tác phẩm Chí Phèo lớp 11
-
Top 30 Tập làm một bài thơ tám chữ lớp 9 (điểm cao)
-
Đoạn văn nêu lí do em yêu thích một câu chuyện về tình yêu thương hoặc lòng biết ơn (hay, ngắn gọn)
-
Bộ đề thi học sinh giỏi môn Ngữ văn lớp 7 (40 đề) Đề thi HSG Văn 7 (Có đáp án)







