Các dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân chọn lọc

Các dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

Phần Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân Toán lớp 11 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 200 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân hay nhất tương ứng.

Cách xác định số hạng của dãy số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u: ¥* → i; n → u(n)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n:

u(1); u(2); u(3); ....u(n);....

♦ Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số.

♦ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1,u2,u3…..un,.... hoặc dạng rút gọn (un).

2. Người ta thường cho dãy số theo các cách:

♦ Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: -1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

Đáp án và hướng dẫn giải

Xét dãy (un) có dạng: un=an3+bn2+cn+d

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1 ; b = 0 ; c = -3 ; d = 1

⇒ un=n3-3n+1 là một quy luật .

Số hạng thứ 10: u10=971.

Bài 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;

2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta có năm số hạng đầu của dãy

Ta có:

do đó un nguyên khi và chỉ khi nguyên hay n+1 là ước của 5. Điều đó xảy ra khi n+1=5 ⇒ n = 4

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4=7.

Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;

2. Chứng minh rằng un=u4;

Đáp án và hướng dẫn giải

1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

u1=1;u2=2u1+3=5;u3=2u2+3=13;u4=29; u5=61.

2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với n = 1 ⇒ u4=1 ⇒ bài toán đúng với n = 1

* Giả sử uk=2k+1-3 , ta chứng minh u_(k+1)=2k+2-3

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

uk+1=2uk+3=2(2k+1-3)=2k+2-3 (đpcm).

Cách tìm công thức của số hạng tổng quát

A. Phương pháp giải

• Nếu un có dạng un = a1 + a2 + ... + ak + .. + an thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un .

• Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1; u2; ... ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:

un + 1 − un dựa vào đó để tìm công thức tính un theo n.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un = 4n B. un = 2n+ 2 C. un = 2n+ 5 D. un = 4n+ 2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3

16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6

Suy ra số hạng tổng quát un = 4n.

Chọn A .

Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un = 7n + 7. B. un = 7n .

C. un = 7n + 1. D. un : Không viết được dưới dạng công thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1

29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1.

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là:

Chọn B.

Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng

A. Phương pháp giải

* Để chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng, ta xét A = un+1 − un

Nếu A là hằng số thì (un) là một cấp số cộng với công sai d = A.

Nếu A phụ thuộc vào n thì (un) không là cấp số cộng.

* Ngoài ra; để chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra: tồn tại số nguyên dương k sao cho: uk+1 − uk ≠ uk − uk−1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (un) với un = 17n + 2 là cấp số cộng

Hướng dẫn giải:

Ta có: un+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19

=> Hiệu: un+1 - un = (17n + 19) − (17n + 2) = 17

Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d = 17.

Ví dụ 2: Chứng minh dãy số (un) với un = 10 − 5n là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: un+1 = 10 − 5(n+1)= 5 − 5n.

Xét hiệu: un+1 − un = (5 − 5n) − (10 − 5n) = −5

=> (un) là một cấp số cộng với công sai d = −5.

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) với un = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số (un) không phải là cấp số cộng .

Hướng dẫn giải:

Ta có: un+1 = 2n+1 + 3

Xét hiệu: un+1 − un = (2n+1 + 3) − (2n + 1)= 2n+1 − 2n

=> (un+1 − un) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (un) không là cấp số cộng.

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) với . Chứng minh rằng (un) không là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Xét hiệu:

=> (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n nên dãy số (un) không là cấp số cộng.