Tổng hợp lí thuyết chương 1

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = fleft( x right)$, khi đó:

+) $f'left( x right) > 0$ trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.

+) $f'left( x right) < 0$ trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (left( {a;b} right))

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng $left( {a,b} right)$ thì $f'left( x right) ge 0,forall x in left( {a,b} right)$.

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng $left( {a,b} right)$ thì $f'left( x right) le 0,forall x in left( {a,b} right).$

2. Cực trị của hàm số

Dấu hiệu 1:

+) Nếu $f'left( {{x_0}} right) = 0$ hoặc $f'left( x right)$ không xác định tại ${x_0}$ và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số.

+) Nếu $f'left( {{x_0}} right) = 0$ hoặc $f'left( x right)$ không xác định tại ${x_0}$ và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Dấu hiệu 2:

Cho hàm số $y = fleft( x right)$ có đạo hàm đến cấp $2$ tại ${x_0}$.

+) ${x_0}$ là điểm cực đại $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f'left( {{x_0}} right) = 0f''left( {{x_0}} right) < 0end{array} right.$

+) ${x_0}$ là điểm cực tiểu $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f'left( {{x_0}} right) = 0f''left( {{x_0}} right) > 0end{array} right.$

3. Giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số

Quy tắc tìm GTLN - GTNN của hàm số:

*) Quy tắc chung: (Thường dùng cho $D$ là một khoảng)

- Tính $f'left( x right)$, giải phương trình $f'left( x right) = 0$ tìm nghiệm trên $D.$

- Lập BBT cho hàm số trên $D.$

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.

*) Quy tắc riêng: (Dùng cho $left[ {a;b} right]$) . Cho hàm số $y = fleft( x right)$ xác định và liên tục trên $left[ {a;b} right]$

- Tính $f'left( x right)$, giải phương trình $f'left( x right) = 0$ tìm nghiệm trên $left[ {a,b} right]$.

- Giả sử phương trình có các nghiệm ${x_1},{x_2},... in left[ {a,b} right]$.

- Tính các giá trị $fleft( a right),fleft( b right),fleft( {{x_1}} right),fleft( {{x_2}} right),...$.

- So sánh chúng và kết luận.

4. Tiệm cận của đồ thị hàm số

+) Đường thẳng $x = a$ là TCĐ của đồ thị hàm số $y = fleft( x right)$ nếu có một trong các điều kiện sau:

$mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} y = + infty $ hoặc $mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} y = - infty $ hoặc$mathop {lim }limits_{x to {a^ - }} y = + infty $ hoặc $mathop {lim }limits_{x to {a^ - }} y = - infty $

+) Đường thẳng $y = b$ là TCN của đồ thị hàm số $y = fleft( x right)$ nếu có một trong các điều kiện sau:

$mathop {lim }limits_{x to + infty } y = b$ hoặc $mathop {lim }limits_{x to - infty } y = b$

5. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c$

c) Các dạng đồ thị hàm số $y = dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$

+) Tập xác định: $D = Rbackslash left{ { - dfrac{d}{c}} right}$

+) Đạo hàm: $y = dfrac{{ad - bc}}{{{{left( {cx + d} right)}^2}}}$

- Nếu $ad - bc > 0$ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư $2$ và $4.$

- Nếu $ad - bc < 0$ hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư $1$ và $3.$

+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: $x = - dfrac{d}{c}$ và TCN: $y = dfrac{a}{c}$

+) Đồ thị có tâm đối xứng: $Ileft( { - dfrac{d}{c};dfrac{a}{c}} right)$

6. Sự tương giao của đồ thị hàm số

a) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số

Phương pháp:

Cho $2$ hàm số $y = fleft( x right),y = gleft( x right)$ có đồ thị lần lượt là $left( C right)$ và $left( {C'} right).$

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và $left( {C'} right):$$fleft( x right) = gleft( x right),,,left( * right)$

+) Giải phương trình tìm $x$ từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.

+) Số nghiệm của $left( * right)$ là số giao điểm của $left( C right)$ và $left( {C'} right).$

b) Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng $Fleft( {x,m} right) = 0$ (phương trình ẩn $x$ tham số $m$)

+) Cô lập $m$ đưa phương trình về dạng $m = fleft( x right)$

+) Lập BBT cho hàm số $y = fleft( x right)$.

+) Dựa vào giả thiết và BBT từ đó suy ra $m.$

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi $m$ độc lập với $x.$

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm - tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm $Fleft( {x,m} right) = 0$

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử $x = {x_0}$ là $1$ nghiệm của phương trình.

+) Phân tích: $Fleft( {x,m} right) = 0 Leftrightarrow left( {x - {x_0}} right).gleft( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = {x_0}gleft( x right) = 0end{array} right.$ ($gleft( x right) = 0$ là phương trình bậc $2$ ẩn $x$ tham số $m$).

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc $2$ $gleft( x right) = 0$.