Đồ thị hàm số bậc 2 & bài tập ứng dụng

Đồ thị hàm số bậc 2 là một trong những kiến ​​thức Toán lớp 10 nền tảng nhất. Trong bài học này, ta sẽ tìm hiểu về một khái niệm liên quan đến hàm số cụ thể hơn về đồ thị hàm số bậc 2. Vậy hàm số bậc 2 là hàm số như thế nào và đồ thị của nó có dạng gì? Cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu trong bài học này nhé!

1. Nhắc lại về hàm số bậc 2

Khái niệm: Hàm số bậc 2 là hàm số được cho bởi công thức với , tập xác định

Chúng ta cùng xem một số ví dụ về hàm số bậc hai.

Ví dụ 1:

Hàm số bậc 2 với các hệ số a=1; b=2; c=1

Hàm số bậc 2 với các hệ số a=3; b=1; c=5

Hàm số bậc 2 với các hệ số a=2; b=1; c=3

Hàm số bậc 2 với các hệ số a=1; b=1; c=0

Hàm số bậc 2 với các hệ số a=4; b=0; c=1

2. Đồ thị hàm số bậc 2

2.1. Nhận dạng đồ thị của hàm số bậc 2

Đồ thị của hàm số bậc 2 có dạng một đường parabol với đỉnh là điểm , trục đối xứng là đường thẳng . Bề lõm của parabol quay lên khi a>0, bề lõm của parabol quay xuống khi a<0.

Ảnh minh họa đồ thị của hàm số bậc 2 khi a<0 (bề lõm quay xuống):

Ảnh minh họa đồ thị của hàm số bậc 2 khi a>0 (bề lõm quay lên):

2.2. Bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 2

Ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 2 với a>0 như sau:

- Hàm số nghịch biến trên khoảng

- Hàm số đồng biến trên khoảng

Ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 2 với a<0 như sau:

- Hàm số đồng biến trên khoảng

- Hàm số nghịch biến trên khoảng

Lưu ý: Khi a<0, bề lõm đồ thị quay xuống; khi a>0, bề lõm đồ thị quay lên.

Ví dụ về cách vẽ đồ thị hàm số bậc 2 như sau:

Ví dụ 1: Hàm số

- Bước 1: xác định đỉnh của đồ thị hàm số bậc 2

- Bước 2: Xác định và vẽ trục đối xứng

- Bước 3: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành (có thể tìm thêm một số điểm khác thuộc đồ thị để khi vẽ đồ thị được đẹp và chính xác hơn)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

(vô nghiệm)

Đồ thị không có giao điểm với trục hoành

Giao điểm của đồ thị với trục tung:

Ta có giao điểm với trục hoành là điểm

Vì giao điểm của trục hoành trùng với đỉnh I nên ta xác định thêm một số điểm như sau:

- Bước 4: Nối đỉnh với các điểm vừa tìm được

Nối các điểm I(0;1); (-2;5); (-1;2); (1;2); (2;5) lại ta được đồ thị của hàm số bậc 2 như sau

Ví dụ 2: Hàm số

- Bước 1: xác định đỉnh của đồ thị hàm số bậc 2

- Bước 2: Xác định và vẽ trục đối xứng

- Bước 3: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành (có thể tìm thêm một số điểm khác thuộc đồ thị để khi vẽ đồ thị được đẹp và chính xác hơn)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Vậy giao điểm đồ thị với trục hoành là (1;0), trùng với đỉnh I

Giao điểm của đồ thị với trục tung

Vậy giao điểm đồ thị với trục tung là (0;-1)

Ta xác định thêm một số điểm như sau:

- Bước 4: Nối đỉnh với các điểm vừa tìm được

Nối I(1,0); (0;-1); (-1;-4); (2;-1); (3;-4) lại ta được đồ thị của hàm số bậc 2 như sau:

» Xem thêm: Cách vẽ đồ thị hàm số bậc 2 chi tiết, hay nhất

3. Các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc 2

3.1. Xác định đỉnh và trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc 2

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc 2 . Hãy xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng của đồ thị

Xác định tọa độ đỉnh:

Xác định trục đối xứng:

Ví dụ 2: Cho hàm số bậc 2 . Hãy xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng của đồ thị

Xác định tọa độ đỉnh:

Xác định trục đối xứng:

3.2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 2

Ví dụ 3: Hàm số

Bước 1: xác định đỉnh của đồ thị hàm số bậc 2

Bước 2: Xác định và vẽ trục đối xứng

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 4: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành (có thể tìm thêm một số điểm khác thuộc đồ thị để khi vẽ đồ thị được đẹp và chính xác hơn)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Vậy giao điểm đồ thị với trục hoành là

Giao điểm của đồ thị với trục tung:

Vậy giao điểm đồ thị với trục tung là (0;-1)

Bước 4: Nối đỉnh với các điểm vừa tìm được

3. Bài tập đồ thị hàm số bậc 2 lớp 10

Bài 1: Xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng của các hàm số bậc 2 dưới đây

a.

b.

a.

Xác định tọa độ đỉnh:

Xác định trục đối xứng:

b.

Xác định tọa độ đỉnh:

Xác định trục đối xứng:

Bài 2: Vẽ đồ thị của hàm số ở bài 1b

Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành (có thể tìm thêm một số điểm khác thuộc đồ thị để khi vẽ đồ thị được đẹp và chính xác hơn)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Vậy giao điểm đồ thị với trục hoành là

Giao điểm của đồ thị với trục tung

Vậy giao điểm đồ thị với trục tung là (0;1)

Bước 4: Nối đỉnh với các điểm vừa tìm được

Bài 3: Xác định hàm số bậc 2 biết rằng đồ thị của nó có đỉnh là

Ta có phương trình:

Vậy ta được:

Lại có:

Vậy ta được hàm số:

Bài 4: Xác định hàm số bậc 2 , biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm (0;2) và (-2;0)

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0;2) và (-2;0) nên ta có hệ phương trình sau:

Vậy ta được hàm số

Bài 5: Xác định hàm số bậc 2 , biết rằng đồ thị của nó có trục đối xứng là và đi qua điểm (0;5)

Hàm số có trục đối xứng là , nên ta được:

Hàm số đi qua điểm (0;5) nên ta được:

Vậy ta được hàm số:

Vậy là các bạn học sinh đã biết được cách nhận dạng đồ thị của hàm số bậc 2 cũng như giải được một số bài tập liên quan. Hy vọng qua bài học này, các bạn sẽ có đủ kiến thức và kỹ năng để học tốt các bài tiếp theo!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang