Bài tập về nhị thức Newton nâng cao (cực hay có lời giải)

Bài viết nhị thức Newton nâng cao với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập nhị thức Newton nâng cao.

Bài tập về nhị thức Newton nâng cao (cực hay có lời giải)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

A. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gọi Tk là số hạng thứ k trong khai triển (x3+2y2)13 mà tổng số mũ của x và y trong số hạng đó bằng 32. Hệ số của Tk bằng?

A.198620 B.186284 C.219648 D.2012864

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Ví dụ 2: Cho khai triển: (x-1)2n+x.(x+1)(2n-1)= a0+ a1 x+ a2.x2+⋯+ a2n.x2n với n nguyên dương và n≥3. Biết rằng a2k=768. Tính a6

A.188 B.284 C.336 D.424

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Đặt P(x)= (x-1)2n+x.(x+1)(2n-1)= a0+ a1 x+ a2.x2+⋯+ a2n.x2n

⇒ P(1)= 22n- 1 =a0+ a1 + ...+ a2n

Và P(-1)= 22n = a0- a1 + a2- ....+ a2n

⇒ P(1) + P(-1) = 22n-1 +22n = 2. a2k=768= 1536

Suy ra: 22n-1 +22n = 1536 ⇔ n= 5

⇒hệ số a6 chứa x6 trong khai triển đã cho là:

Ví dụ 3: Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị thức: P(x) = (x+ 1/x)2018. Tính S + 1/2 C10092018

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Ví dụ 4: Tìm n,biết rằng hệ số của x4 trong khai triển (x3+2x2+3x).(x+1)n bằng 804

A.n=10 B.n=11 C.n=12 D.n=13

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Ví dụ 5: Cho khai triển an (x-1)n + an-1(x-1)n-1 + ...+ a1(x-1)+ a0 = xn vớ mọi số thực x; n∈N; n> 4. Tìm n biết a2+ a3+ a4 = 83n

A.n=10 B.n=11 C.n=12 D.n=13

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Ví dụ 6: Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức (x - 1/x2)20+ (x3- 1/x)10 có tất cả bao nhiêu số hạng?

A.29 B.28 C.27 D.26

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Ví dụ 7: Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức (2x+ 2(1/2-x))n có tổng số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135; còn tổng của ba số hạng cuối là 22.

A.1 B.2 C.3 D.4

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Ví dụ 8: Trong khai triển của biểu thức (x3-x-2)2017. Tính tổng S của các hệ số của x2k+ 1 với k nguyên dương.

A.2017.22017 B.2017.22016 C.2016.22016 D.2018.22017

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Gọi a3n- 3 là hệ số của số hạng chứa x3n- 3 trong khai triển (x2+1)n.(x+2)n. Tìm n sao cho a3n- 3 = 26n?

A.n=4 B.n=5 C.n=6 D.n=7

Lời giải:

Đáp án : B

Câu 2: Gọi a5n-10 là hệ số của số hạng chứa x5n-10 tronh khai triển (x3+1)n.(x2+2)n. Biết a5n- 10 = 1000n( n-1). Tìm n

A.n=13 B.n=15 C.n=16 D.n=17

Lời giải:

Đáp án : D

Ta có

Câu 3: Cho kahi triển x(x+1)n + 2( x+1)n= a0+ a1x+ a2.x2+ ...+ an+1xn+1 với n là số tự nhiên và n≥2. Tìm n; biết rằng a2 - 7n; n.an ; an-2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

A.n= 6 B.n= 8 C.n= 10 D.n= 12

Lời giải:

Đáp án : C

Ta có

Vậy n=10

Câu 4: Xác định n biết rằng hệ số của xn trong khai triển (1+x+2x2+⋯+n.xn )2 bằng 6n

A.n= 5 B.n= 6 C.n= 4 D.n= 7

Lời giải:

Đáp án : A

Ta có

Vậy n=10

Câu 5: Khai triển (1+x+ x2+ ..+ x10)11 được viết thành a0+ a1x+ a2.x2+ ...+a110x110.

A.S= 9 B.S= 10 C.S= 13 D.S= 11

Lời giải:

Đáp án : D

Câu 6: Biết rằng trong khai triển nhị thức Niu- tơn của đa thức P(x)= (2+x+ 2x2+ x3)n thì hệ số của x5 là 1001. Tổng các hệ số trong khai triển của P(x) bằng :

A.7776 B.6784 C.6842 D.8640

Lời giải:

Đáp án : A

Hệ số của x5 ứng với k+ 2l thỏa mãn : k+ 2l= 5

⇒ (k; l)= { (5; 0); (3,1); (1;2)}

Trường hợp 1. Với n≥5 khi đó (k; l)= { (5; 0); (3,1); (1;2)}

⇒ Hệ số của x5 là :

Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n>5 do đó chỉ có thể chọn n=5.

Thử lại vào phương trình ta thấy thỏa mãn điều kiện.

Trường hợp 2. Với 3≤n<5 khi đó (k; l) = {(3;1); (1;2)}

⇒ Hệ số của x5 là :

Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n>3 do đó chỉ có thể chọn n= 3

Thử lại vào phương trình ta thấy n= 3 không thỏa mãn điều kiện.

Trường hợp 3. Với n= 2 khi đó (k;l)= (1;2)

⇒ Hệ số của x5 là :

Do đó chỉ có n= 5 thỏa mãn nên tổng các hệ số trong khai triển:

Cho x= 1 ta được: 65 = 7776

Câu 7: Cho khai triển P(x)= (1+x).(2+ x). ..(1+2017x) = a0+ a1x+ a2x2+ ...+ a2017x2017. Kí hiệu P’(x) và P”(x) lần lượt là đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của đa thức P(x). Khẳng định nào sau đây đúng?

A.a2 = P’(0) B.a2=(P'(0))/2 C.a2=P''(0) D.a2=(P^''(0))/2

Lời giải:

Đáp án : D

Ta có: P'(x)= a1+2a2x+3a3x2+⋯+2017a2017x2016

Tiếp tục đạo hàm lần nữa, ta có:

P''(x)=2a2+6a3x+⋯+2017.2016.a2017x2015

Cho x = 0 ta được: P''(0)=2a2 nên a2=(P^''(0))/2

Câu 8: Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển: (1-2x+2015x2016-2016x2017+2017.x2018)60

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 9: Cho khai triển

Lời giải:

Đáp án : B

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm hình sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay
• Tìm số hạng chứa x^a trong khai triển đa thức P (cực hay có lời giải)
• Cách tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (cực hay có lời giải)
• Cách xác định phép thử, không gian mẫu (cực hay có lời giải)
• Cách tìm xác suất của biến cố (cực hay có lời giải)
• Cách tính xác suất bài toán liên quan đến đếm số (cực hay có lời giải)