Áp dụng công thức Moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức

Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ (Moivre) để tính căn bậc $n$ của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi tiết.

Xem thêm: + Viết số phức dưới dạng lượng giác + Tìm căn bậc hai của một số phức

Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$. + Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + Với $z ne 0$ và $z = r(c{rm{os}}varphi + i sin varphi )$ với $r > 0.$ Đặt $w = R(c{rm{os}}theta + i sin theta )$ với $R > 0$ thì: ${{rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}(c{rm{os}}2theta + i sin 2theta ) = r(c{rm{os}}varphi + i sin varphi )$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {R^2} = r 2theta = varphi + k2pi , k in Z end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} R = sqrt r theta = frac{varphi }{2} + kpi , k in Z end{array} right.$ Từ đó suy ra: Số phức $z = r(c{rm{os}}varphi + isin varphi )$ có $2$ căn bậc hai là: ${{rm{w}}_1} = sqrt r left( {c{rm{os}}frac{varphi }{2} + isin frac{varphi }{2}} right)$ và ${{rm{w}}_2} = sqrt r left( {c{rm{os}}left( {frac{varphi }{2} + pi } right) + i sin left( {frac{varphi }{2} + pi } right)} right)$ $ = - sqrt r left( {c{rm{os}}frac{varphi }{2} + isin frac{varphi }{2}} right).$

2. Tính căn bậc $n$ của số phức Căn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^n} = z$. Với $z ne 0$ và $z = r(c{rm{os}}varphi + i sin varphi )$ với $r > 0.$ Đặt $w = R(c{rm{os}}theta + i sin theta )$ với $R > 0$ thì: ${{rm{w}}^n} = z Leftrightarrow {R^n}(c{rm{osn}}theta + i {mathop{rm sinn}nolimits} theta )$ $ = r(c{rm{os}}varphi + i sin varphi )$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {R^n} = r ntheta = varphi + k2pi , k in Z end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} R = sqrt[n]{r} theta = frac{varphi }{n} + frac{{k2pi }}{n}, k in Z end{array} right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là: ${w_1} = sqrt[n]{r}left( {cos frac{varphi }{n} + isin frac{varphi }{n}} right).$ ${w_2}$ = $sqrt[n]{r}left( {cos left( {frac{varphi }{n} + frac{{2pi }}{n}} right) + isin left( {frac{varphi }{n} + frac{{2pi }}{n}} right)} right).$ ….. ${w_n}$ = $sqrt[n]{r}(cos left( {frac{varphi }{n} + frac{{2pi (n - 1)}}{n}} right)$ $ + isin left( {frac{varphi }{n} + frac{{2pi (n - 1)}}{n}} right)).$ [ads] Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác ${rm{w}} = frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i.$

Ta có $w = frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i = cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}.$ Đặt $z = rleft( {cos varphi + isin varphi } right)$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có: ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}left( {cos 2varphi + isin 2varphi } right)$ $ = cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} r = 1 2varphi = frac{pi }{3} + k2pi ,k in Z end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} r = 1 varphi = frac{pi }{6} + kpi ,k in Z end{array} right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là: ${z_1} = cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}$ và ${z_2} = cos frac{{7pi }}{6} + isin frac{{7pi }}{6}.$

Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: $w = - 1 + isqrt 3 .$

Ta có: $w = - 1 + isqrt 3 = 2left( { - frac{1}{2} + ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 2left( {cos frac{{2pi }}{3} + isin frac{{2pi }}{3}} right).$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $theta = frac{{2pi }}{3}.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có: môđun $r = sqrt[3]{2}$ và một acgumen $phi = frac{theta }{3} + frac{{k2pi }}{3} = frac{{2pi }}{9} + frac{{k2pi }}{3},k in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $varphi $ có ba giá trị: ${varphi _1} = frac{{2pi }}{9}$, ${varphi _2} = frac{{2pi }}{9} + frac{{2pi }}{3} = frac{{8pi }}{9}$, ${varphi _3} = frac{{2pi }}{9} + frac{{4pi }}{3} = frac{{14pi }}{9}.$ Vậy $w = - 1 + isqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là: ${z_1} = sqrt[3]{2}left( {cos frac{{2pi }}{9} + isin frac{{2pi }}{9}} right)$, ${z_2} = sqrt[3]{2}left( {cos frac{{8pi }}{9} + isin frac{{8pi }}{9}} right)$, ${z_3} = sqrt[3]{2}left( {cos frac{{14pi }}{9} + isin frac{{14pi }}{9}} right).$

Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: $w = i.$

Ta có: $w = i = cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $theta = frac{pi }{2}.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có: môđun $r = 1$ và một acgumen $varphi = frac{theta }{4} + frac{{k2pi }}{4} = frac{pi }{8} + frac{{kpi }}{2},k in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $varphi$: ${varphi _1} = frac{pi }{8}$, ${varphi _2} = frac{pi }{8} + frac{pi }{2} = frac{{5pi }}{8}$, ${varphi _3} = frac{pi }{8} + pi = frac{{9pi }}{8}$, ${varphi _4} = frac{pi }{8} + frac{{3pi }}{2} = frac{{13pi }}{8}.$