Bài tập về đường tròn (chọn lọc, có lời giải)

Bài tập về đường tròn lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập đường tròn.

Bài tập về đường tròn (chọn lọc, có lời giải)

(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST

Mời các bạn theo dõi các dạng bài tập về đường tròn hay khác:

• Chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn
• Tính bán kính đường tròn
• Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn
• Góc ở tâm và số đo cung bị chắn
• Tính độ dài đường tròn, cung tròn
• Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
• Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
• Các bài toán về hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau và không cắt nhau

Bài 1: Cho một đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài (O). Tia MO cắt (O) tại A, B (A nằm giữa M và O. Chứng minh rằng:

a) MA là khoảng cách nhỏ nhất từ M tới các điểm của (O)

b) MB là khoảng cách lớn nhất từ M tới các điểm của (O)

Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AD = 2R; gọi I là trung điểm của OD. Qua I kẻ dây BC vuông góc với AD

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo R

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CH. Chứng minh rằng:

a) MD ⊥ BE

b) Bốn điểm M, N, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 4: Cho đường tròn (O; 5cm). Hai dây AB và CD song song với nhau. Tính khoảng cách giữa AB và CD biết AB = 6cm, CD = 8cm.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của đường trung tuyến CM với OA. Gọi G là trọng tâm của tam giác AMC. Chứng minh rằng:

a) OM ⊥ GH

b) OG ⊥ CM

Bài 6: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn, B là một điểm di động trên đường tròn. Gọi M là một điểm trên AB sao cho 3AM = 2AB. Chứng minh rằng khi điểm B di động trên đường tròn (O) thì điểm M di động trên một đường tròn cố định.

Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là điểm di động trên đường tròn; H là hình chiếu của C trên AB. Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH

a) Điểm M chạy trên đường nào?

b) Kéo dài BC một đoạn CD = CB. Điểm D chạy trên đường nào?

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

Từ M kẻ cát tuyến bất kì cắt (O) tại A’, B’. Gọi bán kính của (O) là R.

a) Trong ΔMA’O có:

MO < OA’ + MA’ (Theo bất đẳng thức tam giác)

⇔ MA + AO < MA' + OA'

⇔ MA + R < MA' + R

⇔ MA < MA'

Do kẻ cát tuyến MA’B’ bất kì, mà MA < MA’ nên MA là khoảng cách nhỏ nhất từ M tới (O).

b) ΔOBB' cân tại O

Xét tam giác MBB’ có:

⇒ MB' < MB (góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại)

Do kẻ cát tuyến MA’B’ bất kì, mà MB’ < MB nên MB là khoảng cách lớn nhất từ M tới (O).

Bài 2:

a) Đường kính AD vuông góc với dây BC tại I nên I là trung điểm của dây BC

Tứ giác OBDC có:

I là trung điểm của BC và OD

OD ⊥ BC

⇒ Tứ giác OBDC là hình thoi

⇒ BD = OB = R

Mặt khác: do ΔABD có OA = OB = OD = R nên ΔABD vuông tại B.

ΔABD có cạnh góc vuông BD = 1/2 AD ⇒ góc BAD bằng 300

ΔABC có AI ⊥ BC và IB = IC ⇒ ΔABC cân tại A

⇒ AI cũng đồng thời là đường phân giác của góc A

ΔABC cân có một góc bằng 600

⇒ ΔABC đều

b) Trong ΔABD vuông tại D có:

Bài 3:

a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

Trong tam giác AED vuông tại E có EM là trung tuyến

⇒ MB = ME = AB/2

Trong tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến

⇒ BD = DE = BC/2

⇒ MD là đường trung trực của BE, do đó MD ⊥ BE

b) Ta có DN là đường trung bình của tam giác BHC nên DN // BE

⇒ MD ⊥ DN, góc MDN bằng 900

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH⊥ AB

Do đó: (cùng phụ với góc BAC )(1)

ΔMBE cân nên

ΔNCE cân nên (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

Ta có:

Hai tam giác vuông MDN và MEN chung cạnh huyền MN nên bốn điểm M, N, D, E cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là MN

Bài 4:

Vẽ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD

Do AB // CD nên 3 điểm H, O, K thẳng hàng

AH = 3cm; CK = 4 cm; R = 5 cm

Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông AHO, CKO ta được:

OH = 4 cm; OK = 3 cm

* Nếu O nằm giữa H và K thì HK = 7 cm

* Nếu O không nằm giữa H và K thì HK = 1 cm

Bài 5:

a) Gọi D là giao điểm của CG với AB, N là giao điểm của MG với AC

Ta có H là trọng tâm của tam giác ABC; G là trọng tâm của tam giác AMC

⇒ AB // GH

Mặt khác OM ⊥ AB (tính chất đường kính và dây cung)

⇒ OM ⊥ GH

b) Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC

mà OA ⊥ BC nên OA ⊥ MN

Xét tam giác OMG có H là giao điểm của hai đường cao nên MH là đường cao thứ ba, do đó MH ⊥ OG hay OG ⊥ CM

Bài 6:

Gọi K là điểm trên bán kính OA sao cho 3AK = 2AO

Do A, O cố định nên K cố định

Xét ΔAMK và ΔABO có:

⇒ ΔAMK ~ ΔABO (c.g.c)

Do đó, M ∈ (K; 2/3R)

Bài 7:

a) Xét ΔOMB và ΔOHC có:

OM = OH

góc O chung

OB = OC

⇒ ΔOMB = ΔOHC (c.g.c)

Vậy M chạy trên đường tròn đường kính OB

b) Vì C ∈ (O) ⇒ góc ACB bằng 900 hay AC ⊥ DB

Mà CD = CB ⇒ Tam giác ADB có AC vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABD cân tại A

⇒ AD = AB = 2R

Vậy D chạy trên đường tròn (A; 2R)

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

• Chủ đề: Đường tròn
• Chủ đề: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Chủ đề: Vị trí tương đối của hai đường tròn
• Bài tập Vị trí tương đối của hai đường tròn
• Chủ đề: Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròn
• Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Đường tròn (phần 1 - có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Đường tròn (phần 2 - có đáp án)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án