Bất đẳng thức lớp 8: Khái niệm, ví dụ và bài tập chi tiết

Bất đẳng thức lớp 8 là một nội dung quan trọng được đề cập nhiều trong chương trình môn Toán lớp 8 phần Đại số. Vậy, bất đẳng thức lớp 8 có dạng như thế nào? Ta có thể vận dụng bất đẳng thức lớp 8 vào giải quyết các bài tập cụ thể ra sao? Để hiểu rõ hơn về những vấn đề nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Dạng của bất đẳng thức lớp 8

+ Những hệ thức có dạng a < b, a b, a > b, a b được gọi là bất đẳng thức.

+ Trong những bất đẳng thức nêu trên, a được gọi là vế trái còn b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ: Hệ thức (-2) + 5 < 10 là một bất đẳng thức có vế trái là (-2) + 5 còn vế phải là 10.

2. Bất đẳng thức lớp 8 cùng một số mối liên hệ với các phép toán

+ Chiều của bất đẳng thức không thay đổi khi:

• Cộng hoặc trừ cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số
• Nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương

+ Chiều của bất đẳng thức thay đổi khi:

• Nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm

Ví dụ: Các khẳng định sau đây đúng hay sai? Tại sao?

a. x2 + 3 3

b. -2x2 0

Giải

a. Ta có: x2 0 với mọi số thực x.

Cộng 3 cho cả hai vế của bất đẳng thức, ta thu được: x2 + 3 3

Vậy, khẳng định a đúng.

b. Ta có: x2 0 với mọi số thực x.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho - 2 là một số âm nên chiều của bất đẳng thức bị đảo ngược, ta thu được: -2x2 0

Vậy, khẳng định b sai.

3. Bất đẳng thức Cô-si

+ Bất đẳng thức Cô-si cho hai số a và b không âm có dạng là:

Ngoài ra, bất đẳng thức Cô-si còn được viết dưới dạng:

a + b 2

+ Bất đẳng thức Cô-si được ứng dụng nhiều trong các bài toán chứng minh.

4. Các bài toán về bất đẳng thức lớp 8

4.1. Bất đẳng thức lớp 8 và dạng bài tập so sánh

Ví dụ: So sánh a và b biết: -5a + 2 > -5b + 2

Giải

Từ bất đẳng thức: -5a + 2 > -5b + 2

+ Trừ hai vế của bất đẳng thức cho 2 ta thu được bất đẳng thức: -5a > -5b

+ Tiếp tục chia hai vế của bất đẳng thức cho -5 ta thu được bất đẳng thức: a < b

Vậy, a < b

4.2. Bất đẳng thức lớp 8 và dạng bài tập chứng minh

Ví dụ: Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh: 4.(-3) - 7 < 2.(-3) - 7

Giải

+ Ta có: 4 > 2

+ Nhân hai vế với -3 ta thu được: 4.(-3) < 2.(-3)

+ Trừ hai vế cho 7 ta thu được: 4.(-3) - 7 < 2.(-3) - 7

Vậy, 4.(-3) - 7 < 2.(-3) - 7

5. Bài tập bất đẳng thức lớp 8

5.1. Bài tập tự luận

Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức: (x - 1)(2 - x) - 3(x + x2) - 2

+ Xét vế trái của bất đẳng thức, ta có:

(x - 1)(2 - x) - 3(x + x2)

= 2x - x2 - 2 + x - 3x - 3x2

= (2x + x - 3x) + (- x2 - 3x2) - 2

= - 4x2 - 2

+ Ta có: x2 0 với mọi số thực x

Nhân hai vế của bất đẳng thức với - 4 ta có: - 4x2 0

Trừ hai vế của bất đẳng thức cho 2 ta thu được: - 4x2 - 2 - 2

Vậy, (x - 1)(2 - x) - 3(x + x2) - 2

Bài 2: Cho a, b, c là các số không âm. Trong đó, ab + bc + ca = 4 và a + b + c = 4. Chứng minh rằng: b

+ Xét biểu thức:

ab + bc + ca = 4

(ab + bc) + ca = 4

b(a + c) + ca = 4

ca = 4 - b(a + c) (*)

+ Từ biểu thức: a + b + c = 4

Suy ra: a + c = 4 - b, thế vào (*) ta có:

ca = 4 - b(4 - b)

ca = 4 - 4b + b2

ca = b2 - 4b + 4

+ Lại có: (a + c)2 = a2 + c2 + 2ac

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

a2 + c2 2ac nên a2 + c2 + 2ac 4ac

Hay (a + c)2 4ac (**)

Thế a + c = 4 - b và ac = b2 - 4b + 4 vào (**) ta có:

(4 - b)2 4(b2 - 4b + 4)

16 - 8b + b2 4b2 - 16b + 16

-3b2 + 8b 0

b(-3b + 8) 0

Theo đề, b 0 nên để b(-3b + 8) 0 thì:

-3b + 8 0

-3b -8

b

Vậy, b (đpcm)

5.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là:

1. 2023 + (-24) < 2023 + (-25)
2. (-5).4 + 24 > (-5).5 + 24
3. 3.5 - 10 > 3.6 - 10
4. 4.5 + 8 < 4.2 + 8

+ Ở câu A, vì -24 > -25 nên 2023 + (-24) > 2023 + (-25)

Vậy, câu A sai

+ Ở câu B, vì 4 < 5 nên (-5).4 > (-5).5 suy ra (-5).4 + 24 > (-5).5 + 24

Vậy, câu B đúng

+ Ở câu C, vì 5 < 6 nên 3.5 < 3.6 suy ra 3.5 - 10 < 3.6 - 10

Vậy, câu C sai

+ Ở câu D, vì 5 > 2 nên 4.5 > 4.2 suy ra 4.5 + 8 > 4.2 + 8

Vậy, câu D sai

Chọn câu B

Bài 4: Biết -2a - 3 -2b - 3. Khi đó, ta có thể kết luận:

1. a > b
2. a b
3. a < b
4. a b

+ Theo đề bài, -2a - 3 -2b -3

+ Cộng hai vế cho 3 ta thu được: -2a -2b

+ Chia hai vế cho -2 ta thu được: a b

Chọn câu D

Bài 5: Biết a < b. Trong các khẳng định sau, khẳng định sai là:

1. 2a - 2 < 2b - 2
2. a + 5 < b + 5
3. 1 - 2a > 1 - 2b
4. 3 - 5a < 3 - 5b

+ Theo đề bài: a < b

+ Nhân hai vế với -5 ta thu được: -5a > -5b

+ Cộng hai vế với 3 ta thu được: 3 - 5a > 3 - 5b

Chọn câu D

Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức bất đẳng thức lớp 8 cần thiết và khơi nguồn cảm hứng để tiếp tục khám phá và nâng cao khả năng giải quyết bài toán. Hãy không ngừng rèn luyện và áp dụng những kiến thức đã học để trở thành một học sinh giỏi. Chúc bạn thành công!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang