Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Trong đại số và giải tích, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (cũng gọi là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz)[1][2][3][4] phát biểu rằng trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vector luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích độ dài của hai vector đó. Bất đẳng thức này được coi là một trong những bất đẳng thức quan trọng và xuất hiện thường xuyên trong toán học.[5]

Tích vô hướng của véc-tơ có thể được biểu diễn thông qua tổng hữu hạn, chuỗi hay tích phân trong không gian Hilbert nên bất đẳng thức này có thể được biểu diễn thông qua nhiều dạng khác nhau. Bất đẳng thức của dạng tổng được công bố với Augustin-Louis Cauchy vào năm 1821, phiên bản tích phân là của Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Schwarz lần lượt vào năm 1859 và 1888,[2] Schwarz đưa ra chứng minh hiện đại hơn cho phiên bản tích phân này.[5]

Trong phát biểu này, ta định nghĩa ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {displaystyle langle cdot ,cdot rangle } là một tích vô hướng bất kì trong không gian tích trong, với ví dụ điển hình là tích vô hướng chính tắc trong không gian Euclid.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng với hai véc-tơ u {displaystyle mathbf {u} } và v {displaystyle mathbf {v} } trong không gian tích trong, ta luôn có

(1)

Lấy căn bậc hai ở hai vế ta thu được dạng quen thuộc hơn của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là[6][7]

(2)

Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u {displaystyle mathbf {u} } và v {displaystyle mathbf {v} } là phụ thuộc tuyến tính.[8][9][10]

Một số phát biểu nổi tiếng và đặc biệt của bất đẳng thức này có thể kể đến như dưới đây

Bất đẳng thức Sedrakyan, hay bất đẳng thức Engel, bổ đề Titu phát biểu rằng với bộ số thực u 1 , u 2 , … , u n {displaystyle u_{1},u_{2},dots ,u_{n}} và bộ số dương v 1 , v 2 , … , v n {displaystyle v_{1},v_{2},dots ,v_{n}} , ta có

( ∑ i = 1 n u i ) 2 ∑ i = 1 n v i ≤ ∑ i = 1 n u i 2 v i hay tương đương, ( u 1 + u 2 + ⋯ + u n ) 2 v 1 + v 2 + ⋯ + v n ≤ u 1 2 v 1 + u 2 2 v 2 + ⋯ + u n 2 v n . {displaystyle {frac {left(displaystyle sum _{i=1}^{n}u_{i}right)^{2}}{displaystyle sum _{i=1}^{n}v_{i}}}leq sum _{i=1}^{n}{frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}quad {text{ hay tương đương, }}quad {frac {left(u_{1}+u_{2}+cdots +u_{n}right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+cdots +v_{n}}}leq {frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+cdots +{frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}.}

Bất đẳng thức này được suy ra trực tiếp bằng việc sử dụng tích vô hướng chính tắc và sử dụng hai dãy phụ là u i ′ = u i v i {displaystyle u_{i}'={frac {u_{i}}{sqrt {v_{i}}}}} và v i ′ = v i {displaystyle v_{i}'={sqrt {v_{i}}}} .

Trong không gian Euclid R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} với tích vô hướng chính tắc , khi này bất đẳng thức C-S trở thành

( ∑ i = 1 n u i v i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n u i 2 ) ( ∑ i = 1 n v i 2 ) . {displaystyle left(sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}right)^{2}leq left(sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}right)left(sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}right).}

Trong mặt phẳng R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}} , ta có hai dạng dễ gặp hơn là

⟨ u , v ⟩ 2 = ( ‖ u ‖ ‖ v ‖ cos ⁡ θ ) 2 ≤ ‖ u ‖ 2 ‖ v ‖ 2 , {displaystyle langle mathbf {u} ,mathbf {v} rangle ^{2}=(|mathbf {u} ||mathbf {v} |cos theta )^{2}leq |mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2},} và ( u 1 v 1 + u 2 v 2 ) 2 ≤ ( u 1 2 + u 2 2 ) ( v 1 2 + v 2 2 ) , {displaystyle left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}right)^{2}leq left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}right)left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}right),}

Nếu u , v ∈ C n {displaystyle mathbf {u} ,mathbf {v} in mathbb {C} ^{n}} , ta khi này định nghĩa tích vô hướng giữa hai véc-tơ là ⟨ u , v ⟩ := u 1 v 1 ¯ + ⋯ + u n v n ¯ , {displaystyle langle mathbf {u} ,mathbf {v} rangle :=u_{1}{overline {v_{1}}}+cdots +u_{n}{overline {v_{n}}},} , bất đẳng thức C-S khi đó được phát biểu là

| ⟨ u , v ⟩ | 2 = | ∑ k = 1 n u k v ¯ k | 2 ≤ ⟨ u , u ⟩ ⟨ v , v ⟩ = ( ∑ k = 1 n u k u ¯ k ) ( ∑ k = 1 n v k v ¯ k ) = ∑ j = 1 n | u j | 2 ∑ k = 1 n | v k | 2 . {displaystyle |langle mathbf {u} ,mathbf {v} rangle |^{2}=left|sum _{k=1}^{n}u_{k}{bar {v}}_{k}right|^{2}leq langle mathbf {u} ,mathbf {u} rangle langle mathbf {v} ,mathbf {v} rangle =left(sum _{k=1}^{n}u_{k}{bar {u}}_{k}right)left(sum _{k=1}^{n}v_{k}{bar {v}}_{k}right)=sum _{j=1}^{n}left|u_{j}right|^{2}sum _{k=1}^{n}left|v_{k}right|^{2}.} hay viết dưới dạng tường minh là | u 1 v ¯ 1 + ⋯ + u n v ¯ n | 2 ≤ ( | u 1 | 2 + ⋯ + | u n | 2 ) ( | v 1 | 2 + ⋯ + | v n | 2 ) . {displaystyle left|u_{1}{bar {v}}_{1}+cdots +u_{n}{bar {v}}_{n}right|^{2}leq left(left|u_{1}right|^{2}+cdots +left|u_{n}right|^{2}right)left(left|v_{1}right|^{2}+cdots +left|v_{n}right|^{2}right).}

Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <x, y> khác 0. Giả sử λ {displaystyle lambda } là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

0 ≤ ‖ x − λ y ‖ 2 = ⟨ x − λ y , x − λ y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ − λ ⟨ x , y ⟩ − λ ¯ ⟨ y , x ⟩ + | λ | 2 ⟨ y , y ⟩ . {displaystyle 0leq left|x-lambda yright|^{2}=langle x-lambda y,x-lambda yrangle =langle x,xrangle -lambda langle x,yrangle -{bar {lambda }}langle y,xrangle +|lambda |^{2}langle y,yrangle .}

Chọn

λ = ⟨ y , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ − 1 {displaystyle lambda =langle y,xrangle cdot langle y,yrangle ^{-1}}

chúng ta được

0 ≤ ⟨ x , x ⟩ − | ⟨ x , y ⟩ | 2 ⋅ ⟨ y , y ⟩ − 1 {displaystyle 0leq langle x,xrangle -|langle x,yrangle |^{2}cdot langle y,yrangle ^{-1}}

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

| ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ {displaystyle |langle x,yrangle |^{2}leq langle x,xrangle cdot langle y,yrangle }

hay tương đương:

| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ . {displaystyle {big |}langle x,yrangle {big |}leq left|xright|left|yright|.} (điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau: cho các vector x và y,

‖ x + y ‖ 2 {displaystyle |x+y|^{2}} = ⟨ x + y , x + y ⟩ {displaystyle =langle x+y,x+yrangle } = ‖ x ‖ 2 + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ‖ y ‖ 2 {displaystyle =|x|^{2}+langle x,yrangle +langle y,xrangle +|y|^{2}} ≤ ‖ x ‖ 2 + 2 | ⟨ x , y ⟩ | + ‖ y ‖ 2 {displaystyle leq |x|^{2}+2|langle x,yrangle |+|y|^{2}} ≤ ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ + ‖ y ‖ 2 {displaystyle leq |x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2}} ≤ ( ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ) 2 {displaystyle leq left(|x|+|y|right)^{2}}

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.