Các dạng toán về cực trị có tham số đối với các hàm số đơn giản

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính (y').

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:

+ Hàm số có điểm cực trị ( Leftrightarrow y' = 0) có hai nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow Delta > 0).

+ Hàm số không có điểm cực trị ( Leftrightarrow y' = 0) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ( Leftrightarrow Delta le 0).

- Bước 3: Kết luận.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính (y').

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:

+ Hàm số có (1) điểm cực trị nếu phương trình (y' = 0) có nghiệm duy nhất.

+ Hàm số có (3) điểm cực trị nếu phương trình (y' = 0) có ba nghiệm phân biệt.

- Bước 3: Kết luận.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính (y',y'').

- Bước 2: Nêu điều kiện để (x = {x_0}) là điểm cực trị của hàm số:

+ (x = {x_0}) là điểm cực đại nếu (left{ begin{array}{l}f'left( {{x_0}} right) = 0f''left( {{x_0}} right) < 0end{array} right.)

+ (x = {x_0}) là điểm cực tiểu nếu (left{ begin{array}{l}f'left( {{x_0}} right) = 0f''left( {{x_0}} right) > 0end{array} right.)

- Bước 3: Kết luận.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính (y').

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

( Leftrightarrow y' = 0) có hai nghiệm phân biệt trái dấu( Leftrightarrow ac < 0)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung

( Leftrightarrow y' = 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0P > 0end{array} right.)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung

( Leftrightarrow y' = 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dương ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0S > 0P > 0end{array} right.)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung

( Leftrightarrow y' = 0) có hai nghiệm phân biệt cùng âm ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta > 0S < 0P > 0end{array} right.)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị (Aleft( {{x_1};{y_1}} right),Bleft( {{x_2};{y_2}} right)) thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa ({x_1},{x_2}) thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện ({x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2}) rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S{x_1}{x_2} = Pend{array} right.) và tìm (m).

Phương pháp:

- Bước 1: Tính (y').

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Ba điểm cực trị (A,B,C) trong đó (Aleft( {0;c} right)) lập thành một tam giác vuông (vuông cân)

( Leftrightarrow Delta ABC) vuông tại (A Leftrightarrow overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = 0) .

Khi đó:

(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0x = pm sqrt { - dfrac{b}{{2a}}} end{array} right.)( Rightarrow Aleft( {0;c} right),Bleft( { - sqrt { - dfrac{b}{{2a}}} ;c - dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} right),Cleft( {sqrt { - dfrac{b}{{2a}}} ;c - dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} right))

( Rightarrow overrightarrow {AB} = left( { - sqrt { - dfrac{b}{{2a}}} ; - dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} right),overrightarrow {AC} = left( {sqrt { - dfrac{b}{{2a}}} ; - dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} right))

(begin{array}{l}overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = 0 Leftrightarrow dfrac{b}{{2a}} + dfrac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} = 0 Leftrightarrow 8ab + {b^4} = 0 Leftrightarrow 8a + b^3 = 0 Leftrightarrow b = -2sqrt[3]{a}end{array})

Đây là công thức tính nhanh trong bài toán trắc nghiệm.

+ Ba điểm cực trị (A,B,C) trong đó (Aleft( {0;c} right)) tạo thành tam giác đều ( Leftrightarrow AB = BC = CA).

+ Ba điểm cực trị (A,B,C) trong đó (Aleft( {0;c} right)) tạo thành tam giác có diện tích ({S_0}) cho trước

( Leftrightarrow {S_0} = dfrac{1}{2}AH.BC) với (H) là trung điểm của (BC).

+ Ba điểm cực trị (A,B,C) trong đó (Aleft( {0;c} right)) tạo thành tam giác có diện tích ({S_0}) lớn nhất

( Leftrightarrow ) Tìm (max {S_0}) với ({S_0} = dfrac{1}{2}AH.BC,H) là trung điểm của (BC).

+ Ba điểm cực trị (A,B,C) trong đó (Aleft( {0;c} right)) tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng (alpha ) cho trước

( Leftrightarrow dfrac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} }}{{left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|}} = cos alpha )

+ Ba điểm cực trị (A,B,C) trong đó (Aleft( {0;c} right)) tạo thành tam giác có ba góc nhọn

( Leftrightarrow alpha ) là góc ở đỉnh phải nhọn ( Leftrightarrow cos alpha = dfrac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} }}{{left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|}} > 0)

- Bước 3: Kết luận.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính (y').

- Bước 2: Lấy (y) chia (y') ta được đa thức dư (gleft( x right) = mx + n).

- Bước 3: Kết luận: (y = mx + n) là đường thẳng cần tìm.