Toán học phổ thông – SGK Trần Thanh Phong : "Học Cái mới – sửa cái sai – Phát huy cái biết"

Ôn tập toán hình học lớp 9 học kì 1: đường tròn - cung - dây

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh :

1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC).
2. FA.FH = FB.FC.
3. bốn điểm A, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn , xác định tâm I của đường tròn này.
4. IE là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Giải.

1. AH vuông góc BC :

𝛥 DBC nt (O) đường kính BC (gt)

=> 𝛥 DBC vuông tại D

=> BD CD hay BD AC.

Cmtt : CE AB

Xét tam giác ABC có :

CE AB (cmt) => CE đường cao thứ nhất.

BD AC (cmt) => BD đường cao thứ hai.

hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

= > H là trực tâm của tam giác ABC

= > AH là đường cao thứ ba.

= > AH BC tại F.

2. FA.FH = FB.FC :

Xét 𝛥 FAB và 𝛥 FCH, ta có :

(cmt)

(𝛥 FAB vuông tại F)

(𝛥 FAC vuông tại F)

=> (1)

=> 𝛥 FAB đồng dạng 𝛥 FCH

=>

=> FA.FH = FB.FC

3.A, E, H, D nằm trên đường tròn

Xét ΔAEH vuông tại E (gt)

= > ΔAEH nội tiếp đường tròn đường kính AH (1).

Hay A, E, H nằm trên đường tròn đường kính AH(1).

Xét ΔADH vuông tại D (gt)

= > ΔADH nội tiếp đường tròn đường kính AH

Hay A, D, H nằm trên đường tròn đường kính AH(2).

Từ (1) và (2) : A, E, H, D nằm trên đường tròn đường kính AH .

Suy ra : tâm I là trung điểm AH.

4. IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xét Δ AEI, ta có : IA = IE (bán kính)

=> Δ AEI cân tại I

=> (2)

Cmtt, ta được : (3)

Từ (1), (2) và (3), ta được :

Mà : :

=>

Hay :

=> IE EO tại E

Mà : E thuộc (O)

Vậy : IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

—————————————————————————————-

BÀI 2 :

Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O; R) lấy điểm M. gọi điểm B của đường tròn (O; R) sao cho MB = MA

1. Chứng minh : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
2. Cho OM = 2R. chứng minh : tam giác ABC đều. tính độ dài và các cạnh và diện tích của tam giác AMB theo R.
3. Vẽ đường kính BE của (O). chứng minh : AE // OM.

Giải.

1. MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Xét 𝛥AOM và 𝛥BOM, ta có :

MA = MB (gt)

OA = OB (bán kính)

OM cạnh chung.

=> 𝛥AOM = 𝛥BOM

=>

Mà : (MA tiếp tuyến của (O))

=>

Hay MB OB tại B

Mà : điểm B của đường tròn (O; R)

Vậy : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

2. OM = 2R :

Xét 𝛥AOM vuông tại A, ta có :

sin OMA = OA : OM = ½

=>

Mặt khác : (tính chất hai tt cắt nhau)

Xét 𝛥ABM, ta có : MA = MB (gt)

=> 𝛥ABM cân tại M

Mà : (cmt)

=> 𝛥ABM đều.

Xét 𝛥 vuông tại A, theo định lí ta có :

OM2 = MA2 + 0B2

(2R)2 = MA2 + R2

=> MA =

Diện tích SAOM = MA2. = (dvdt)

3. chứng minh : AE // OM :

ta có :

MA = MB (gt)

OA = OB (bán kính)

=> MO là đường trung trực AB

=> OM AB (1)

Xét 𝛥ABE nội tiếp (O), có : BE là đường kính

=> 𝛥ABE vuông tại A

=> AE AB (2)

Từ (1) và (2) => AE // OM.

———————————————————————————-

Bài 3 :

Cho nữa đường tròn (O; R) có đường kính AB. tiếp tuyến tại điểm M trên nữa đường tròn lần lượt cắt hai tiếp tuyến tại A và B ở C và D.

1. Chứng minh : AC + DB = CD.
2. Chứng minh : tam giác COD vuông và AC.BD = R2.
3. OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F. chứng minh :
   1. Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.
   2. OE.OC = OF.OD = R2.
   3. EF BD.
   4. Chứng minh : AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.
   5. AD cắt BC tại N. chứng minh : MM // AC.

Giải.

1. Chứng minh : AC + DB = CD.

Ta có :

CA = CM (tính chất hai tt cắt nhau)

DB = DM (tính chất hai tt cắt nhau)

CD = CM + MD

=> AC + DB = CD.

2. tam giác COD vuông và AC.BD = R2.

Ta có :

OD là tia phân giác góc BOM (tính chất hai tt cắt nhau)

OC là tia phân giác góc COM (tính chất hai tt cắt nhau)

Mà : góc BOM và góc COM kề bù.

=> OC OD tại O.

Hay 𝛥COD vuông tại O.

Trong 𝛥COD vuông tại O, có đường cao OM. hệ thức lượng :

MC.MD = OM2 = R2

Hay : AC.BD= R2 (CA = CM và DB = DM)

3.a Tứ giác OEMF là hình chữ nhật :

Ta có :

CA = CM (cmt)

OA = OM ( bán kính)

=> CO là đường trung trực của AM

=> CO $latex $ AM tại E, EA = EM

=>

Cmtt , ta được :

Tứ giác OEMF, ta có :

(cmt)

=> Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.

Trong 𝛥COM vuông tại M, có đường cao ME. hệ thức lượng :

OC. OE = OM2 = R2

Cmtt : OD. OF = OM2 = R2

=> OE.OC = OF.OD = R2.

EF BD.

Xét 𝛥ABM, ta có :

EA = EM (cmt)

FB = FM (cmt)

=> EF là đường trung bình

=> EF // AB

Mà AB BD (tính chất tt)

=> EF BD.

4. AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.

trong 𝛥COD vuông tại O (cmt)

=> 𝛥COD nội tiếp đường tròn (I) đường kính CD

=> IC = ID.

Mặt khác : CA // BD (cùng vuông góc AB)

=>Tứ giác ABDC là hình thang.

Xét hình thang ABDC, ta có :

IC = ID (cmt)

OA = OB (AB là đường kính (O))

=> IO là đường trung bình

=> IO // CA

Mà CA AB

=> IO AB tại O

Mà : điểm O thuộc (I)

=> AB là tiếp tuyến của (I) đường kính CD

5. NM // AC

Ta có :

AC // BD (cmt)

=> (định lí talet thuận)

MÀ : CA = CM và DB = DM (cmt)

=>

=> NM // AC (định lí talet đảo)

==============================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

Xem bài giải : giasutoan

BÀI 1 ( 3,5 điểm) :

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

1. Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn . xác định tâm I của đường tròn đó.
2. Chứng minh AH vuông góc BC.
3. Cho góc A = 600, AB = 6cm. tính BD.
4. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Bài 2 ( 4 điểm) :

Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho AB < AC.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến (d’) với đường tròn (O), (d’) cắt (d) tại D. Chứng minh : DA =DF.

c) Hạ CH vuông góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm CH.

d) Tia AK cắt DC tại E. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O) , suy ra OE // CA.

Bài 3 :

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R . Vẻ các tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C là các tiếp điểm )

a) C/m: Tam giác ABC đều

b) Từ O kẻ đường vuông góc vớiOBcắt AC tại S . C/m : SO = SA

c) Gọi I là trung điểm của OA . C/minh SI là tiếp tuyến của (O)

d) Tính độ dài SI theo R

Bài 4 : (4 đ)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.H là trung điểm của OB.Qua H vẽ dây CD vuông

góc vơi AB.

a) Chứng minh tam giác OCB đều.

b) Tính đô dài AC và CH theo R.

c) Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở I.Chứng tỏ 3 điểm O,B,I thẳng hàng và

4HB.HI = 3R2

d) Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E.OE cắt CI tại K.Chứng minh KB

là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD.

Bài 5 : (3,5 điểm)

Từ một điểm A ở ngoài (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C. Vẽ đường kính BD của (O).

a) Chứng minh ΔBCD vuông.

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).

c) Chứng minh DC. AO = 2R2 .

d) Biết OA = 2R. Tính diện tích ΔBCK theo R.

Bài 5.

Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là hai tiếp điểm),OMcắt AB tại H.

1) Chứng minh H là trung điểm của AB.

2) Trên đường thẳng AB lấy điểm N (với A nằm giữa B và N). Từ M kẻ một đường thẳng vuông góc với ON tại K và cắt AB tại I. Chứng minh 5 điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3) Chứng minh : NA.NB = NI.NH

4) Tia MK cắt đường tròn (O) tại C và D (với C nằm giữa M và D). Chứng minh NC và ND là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).

bài 6 : (3,5đ)

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)

a) Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.

b) Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.

c) Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.

Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.

d) Tính diện tích AJIB theo R.

BÀI 7 :

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)

e) Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.

f) Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.

g) Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.

Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.

h) Tính diện tích AJIB theo R.