ĐS-Chuyên đề 12. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH.html

Chương 3. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Chuyên đề 12 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A. Kiến thức cần nhớ

Các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn số và các đại lượng đã biết.

- Từ đó lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng

Bước 2. Giải hệ phương trình

Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1:Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. (biết vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước không đổi)

Giải

Tìm cách giải. Bài toán này là bài toán chuyển động trong dòng chảy. Bạn cần nhớ rằng:

● Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước

● Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng - vận tốc dòng nước

Sau đó viết thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng theo quãng đường xuôi và ngược từ đó thiết lập được hệ phương trình.

Trình bày lời giải

Gọi vận tốc riêng của ca nô là

Vận tốc của dòng nước là

Suy ra vận tốc xuôi dòng của ca nô là

Vận tốc ngược dòng của ca nô là

Theo đề bài, ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km, ta có phương trình: (1)

Theo đề bài, ca nô chạy trên sông cũng trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 64km, ta có hệ phương trình: (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

Đặt ; . Hệ phương trình có dạng:

Giải ra ta được suy ra (thỏa mãn)

Vậy vận tốc riêng của ca nô là

Và vận tốc của dòng nước là

Ví dụ 2:Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi , nếu tăng chiều dài thêm , tăng chiều rộng thêm thì diện thích tăng thêm . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Giải

Gọi chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là và chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là

Theo đề bài, chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là , ta có phương trình:

Theo đề bài, nếu tăng chiều dài thêm , tăng chiều rộng thêm thì diện tích tăng thêm , ta có phương trình:

Từ và ta có hệ phương trình:

Giải ra ta được: (thỏa mãn)

Vậy chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là 12m, chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là 5m

Ví dụ 3:Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai làm tiếp công việc đó trong 10 ngày nữa thì xong. Hỏi nếu mỗi người làm một mình xong công việc đó hết bao nhiêu thời gian?

Giải

Tìm cách giải. Bài toán này là bài toán về công việc đồng thời. Để giải loại toán này, chúng ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.

Suy ra: .Lập phương trình theo mẫu:

Trình bày lời giải:

Gọi người thứ nhất làm một mình xong công việc thời gian là

Gọi người thứ hai làm một mình xong công việc thời gian là

1 ngày người thứ nhất làm được công việc

1 ngày người thứ hai làm được công việc

Theo đề bài, hai người làm chung 12 ngày thì xong, ta có phương trình:

Theo đề bài, họ làm chung được 8 ngày, người thứ nhất nghỉ, người thứ hai làm công việc đó trong 10 ngày nữa thì xong, ta có phương trình: (2)

Từ và ta có hệ phương trình:

Giải ra ta được: (thỏa mãn)

Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc hết 20 ngày; thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc hết 30 ngày

Ví dụ 4:Trong một lớp học chỉ có hai loại học sinh khá và giỏi. Nếu có 1 học sinh giỏi chuyển đi thì số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Nếu có 1 học sinh khá chuyển đi thì số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Tính số học sinh của lớp.

Giải

Gọi số học sinh giỏi là và số học sinh khá là

Chuyển 1 học sinh giỏi đi thì số học sinh giỏi là học sinh

Theo đầu bài, nếu có 1 học sinh giỏi chuyển đi thì số học sinh còn lại là học sinh giỏi, ta có phương trình: (1)

Chuyển 1 học sinh khá đi thì số học sinh khá là học sinh

Theo đầu bài, nếu có 1 học sinh khá chuyển đi thì số học sinh còn lại là học sinh giỏi, ta có phương trình:

Từ và ta có hệ phương trình:

Giải ra ta được: (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh của lớp là học sinh

Ví dụ 5:Hai thị xã A và B cách nhau 90km. Một chiếc ô tô khởi hành từ A và một chiếc mô tô khởi hành từ B cùng một lúc và ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau xe ô tô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe mô tô chạy thêm 2 giờ nữa thì đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe ( Giả sử rằng hai xe chuyển động đều)

(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long năm 2012-2013)

Giải

Gọi địa điểm gặp nhau là C

Gọi vận tốc ô tô là

vận tốc mô tô là

Quãng đường ô tô đi từ C đến B là:

Quãng đường mô tô đi từ C đến A là:

Theo đề bài, ta có phương trình:

Theo đề bài, thời gian ô tô đi từ A đến C bằng thời gian mô tô đi từ B đến C nên ta có phương trình:

Từ và ta có hệ phương trình:

Giải ra ta được: (thỏa mãn)

Vậy vận tốc ô tô là , vận tốc mô tô là

Ví dụ 6: Có mười sáu người đi dự trại nghỉ mát ở một khu rừng ngoại ô thành phố. Họ chia nhau mang theo 19kg vật dụng và lương thực… Mỗi người đàn ông mang theo 3kg, mỗi nhóm hai người đàn bà mang theo 1kg, mỗi nhóm ba đứa trẻ mang theo 1kg. Tính số đàn ông, đàn bà và trẻ em đi dự trại.

Giải

Tìm cách giải. Bài toán yêu cầu tìm số đàn ông, đàn bà và trẻ em nên ta có thể chọn ba ẩn. Từ đề bài ta thiết lập được hai phương trình: Phương trình thứ nhất là phương trình cân bằng số người, phương trình thứ hai cân bằng khối lượng. Vì điều kiện ẩn số là số tự nhiên, nên ta có thể giới hạn miền giá trị của mỗi ẩn để tìm nghiệm (thực chất là giải hệ phương trình nghiệm tự nhiên).

Trình bày lời giải

Gọi số đàn ông, đàn bà và trẻ em lần lượt là

Theo đề bài, có tất cả 16 người đi dự trại hè, ta có phương trình:

Theo đề bài, mỗi người đàn ông mang theo 3kg, mỗi nhóm hai người đàn bà mang theo 1kg, mỗi nhóm ba đứa trẻ mang theo 1kg, ta có phương trình: (2)

Từ và ta có hệ phương trình:

Ta có mà nên

Mặt khác nên do đó

Từ đó ta tính được , ( thỏa mãn)

Vậy số đàn ông, đàn bà và trẻ em lần lượt là 5 người, 2 người, và 9 người.

C. Bài tập vận dụng

12.1.Một ô tô đi trên quãng đường AB với vận tốc , rồi đi tiếp trên quãng đường BC với vận tốc . Biết quãng đường tổng cộng là 165 km và thời gian đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút.Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC lần lượt là

Suy ra quãng đường AB là km và quãng đường BC là km, nên ta có phương trình:

Theo đề bài, thời gian đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút ta có phương trình:

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

Giải ra ta được : (thỏa mãn).

Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC lần lượt là giờ và 2 giờ.

12.2.Một thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm . Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi . Tính diện tích thửa ruộng đó

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi chiều dài thửa ruộng là và chiều rộng của thửa ruộng là

Theo đề bài, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm ta có phương trình :

Theo đề bài, nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi , ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

Giải ra ta được : (thỏa mãn).

Vậy chiều rộng của thửa rộng là 14m, chiều dài của thửa ruộng là 22m, do đó diện tích của thửa ruộng là .

12.3. Nếu hai vời cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 90 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể ?

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là (phút, )

thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là (phút, )

suy ra 1 phút, vòi thứ nhất chảy được là bể

1 phút vòi thứ hai chảy được là bể

Theo đề bài, hai vòi cùng chảy vào bể thì 90 phút đầy bể, ta có phương trình

Theo đề bài, nếu mở vòi thứ nhất chảy 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì được bể, ta có phương trình :

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

Giải ra, ta được: (thỏa mãn).

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 255 phút.

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 150 phút.

12.4.Hai tổ chức dự định làm 700 sản phẩm. Thực tế, tổ một vượt mức 20% và tổ hai vượt mức 15% nên trong thời gian quy định cả hai tổ đã vượt mức 120 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ dự kiến làm.

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi số sản phẩm tổ một dự kiến làm là (sản phẩm, )

Số sản phẩm tổ hai dự kiến làm là (sản phẩm, )

Theo đầu bài, hai tổ dự định làm 700 sản phẩm, ta có phương trình :

Theo đề bài, thực tế, tổ một vượt mức 20% và tổ hai vượt mức 15% nên trong thời gian quy định cả hai tổ đã vượt mức 120 sản phẩm, ta có phương trình :

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

Giải ra ta được : (thỏa mãn).

Vậy số sản phẩm tổ một dự kiến làm là 300 sản phẩm, sản phẩm tổ hai dự kiến làm là 400 sản phẩm.

12.5.Để làm xong một công việc. Nếu công nhân A và B cùng làm thì mất 6 giờ. Nếu công nhân B và C cùng làm thì mất 4 giờ 30 phút. Nếu công nhân C và A cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút. Hỏi nếu cả ba công nhân cùng làm thì bao lâu xong công việc ?

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi thời gian công nhân A làm một mình xong công việc hết (giờ, )

thời gian công nhân B làm một mình xong công việc hết (giờ, )

thời gian công nhân C làm một mình xong công việc hết z (giờ, )

Theo đầu bài, nếu công nhân A và B cùng làm thì mất 6 giờ, ta có phương trình :

(1)

Theo đầu bài, nếu công nhân B và C cùng làm thì mất 4 giờ 30 phút ,ta có phương trình : (2)

Theo đầu bài, nếu công nhân C và A cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút , ta có phương trình : (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình :

Cộng vế với vế ta được : (4)

Từ (1) và (4), ta có :

Từ (2) và (4), ta có :

Từ (3) và (4), ta có :

Suy ra : (thỏa mãn)

Vậy thời gian công nhân A làm một mình xong công việc hết 9 giờ, thời gian công nhân B làm một mình xong công việc hết 18 giờ, thời gian công nhân C làm một mình xong công việc hết 6 giờ

12.6.Có 480 học sinh dự trại hè tại 3 điểm, số học sinh của địa điểm , học sinh của địa điểm và số học sinh của địa điểm đi thăm một viện bảo tàng. Viện bảo tàng cách địa điểm 60 km, các địa điểm 40 km và cách địa điểm 30 km. Để trả vừa đủ tiền xe (giá 100 đồng cho mỗi người đi 1 km) số người đi thăm viện bảo tàng đã góp đồng đều mỗi người 4000 đồng. Hỏi có bao nhiêu người ở mỗi địa điểm đã đi thăm viện bảo tàng.

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, TP. Hồ Chí Minh năm 1993-1994, vòng 1)

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi (người) lần lượt là số người của các địa điểm , , đi thăm viện bảo tàng

Tổng số tiền xe là : nên suy ra

Tổng số học sinh dự trại là :

và Vì y là số tự nhiên

Do đó mà

và (thỏa mãn)

Số người của các địa điểm , , đi thăm viện bảo tàng là 12 học sinh, 17 học sinh, 24 học sinh.

12.7. Trong một cuộc đua xe mô tô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15 km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất là 12 phút và sớm hơn người thứ 3 là 3 phút. Tìm vận tốc của ba tay đua mô tô trên

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi vận tốc người thứ hai là

và chiều dài quãng đường đi là

Suy ra vận tốc tay đua mô tô thứ nhất là

Vận tốc tay đua xe mô tô thứ ba là :

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

vì

Vậy vận tốc mô tô thứ nhất là , vận tốc mô tô thứ hai là , vận tốc mô tô thứ ba là

12.8. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ hai chỉ được thể tích của nó, hoặc bình thứ hai đầy nước còn bình thứ ba chỉ được thể tích của nó. Hãy xác định thể tích của mỗi bình.

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi thể tích bình thứ nhất là , thể tích bình thứ hai là , thể tích bình thứ ba là

Theo đề bài, ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít, ta có phương trình:

Theo đề bài, nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ hai chỉ được thể tích của nó, hoặc bình thứ hai đầy nước còn bình thứ ba chỉ được thể tích của nó, ta có phương trình:

;

Từ , và ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn)

Vậy thể tích bình thứ nhất là 50 lít, thể tích bình thứ hai là 40 lít, thể tích bình thứ ba là 30 lít

12.9.Hai địa điểm A và B cách nhau 360 km. Cùng lúc đó một xe tải khởi hành từ A chạy về B và một xe con chạy từ B về A. sau khi gặp nhau xe tải chạy tiếp 5 giờ nữa thì tới B và xe con chạy tiếp 3 giờ 12 phút nữa thì tới A. Tính vận tốc mỗi xe.

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi địa điểm gặp nhau là C

Gọi vận tốc xe tải là

vận tốc xe con là

Quãng đường xe tải đi từ C đến B là:

Quãng đường xe con đi từ C đến A là:

Theo đề bài, ta có phương trình:

Theo đề bài, thời gian xe tải đi từ A đến C bằng thời gian xe con đi từ B đến C nên ta có phương trình:

Từ và ta có hệ phương trình:

Kết hợp với ,

Giải ra ta được

Vậy vận tốc xe tải là , vận tốc xe con là

12.10. Có ba đội xây dựng cùng làm chung một công việc. Làm chung được 4 ngày thì đội III được điều động làm việc khác, hai đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II; năng suất của đội III là trung bình cộng năng suất của đội I và năng suất của đội II. Nếu mỗi đội làm một phần ba công việc thì phải mất tất cả 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc trên?

(Tuyển sinh lớp 10, THPT Năng Khiếu ĐHQG TP.Hồ Chí Minh, năm học 2003 - 2004)

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là

thời gian đội II làm một mình xong công việc là

thời gian đội III làm một mình xong công việc là

Theo đề bài, làm chung được 4 ngày thì đội III được điều động làm việc khác, hai đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc, ta có phương trình:

Theo đề bài, năng suất của đội III là trung bình cộng năng suất của đội I và năng suất của đội II, ta có phương trình:

Theo đề bài, nếu mỗi đội làm một phần ba công việc thì phải mất tất cả 37 ngày mới xong, ta có phương trình:

Theo đề bài, năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II tức là:

Từ , và ta có hệ phương trình:

Từ ta có: thế vào ta được:

Thay vào phương trình và , ta được:

Từ , ta có: thay vào ta được:

Với thì không thỏa mãn

Với thì , thỏa mãn

Vậy thời gian đội I làm một mình xong công việc đội I hết 30 ngày, đội II hết 45 ngày, đội III hết 36 ngày

12.11.Trong cái bình có đựng nước. Nếu ta rót lượng nước từ bình thứ nhất sang bình thứ hai; rồi rót lượng nước hiện tại có ở bình thứ hai sang bình thứ ba và cuối cùng rót lượng nước ở bình thứ ba sang bình thứ nhất thì trong mỗi bình có 9 lít nước. Hỏi lúc đầu trong mỗi bình có bao nhiêu lít nước?

Hướng dẫn giải - đáp số

Đặt lượng nước lúc đầu trong bình thứ nhất, bình thứ hai, bình thứ ba lần lượt là

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Vậy lượng nước lúc đầu trong bình thứ nhất, bình thứ hai, bình thứ ba lần lượt là 12 lít, 8 lít, 7 lít.

12.12.A nói với B : Tuổi của tôi hiện nay gấp ba lần tuổi của anh vào lúc tuổi tôi bằng tuổi anh hiện nay. Lúc tuổi anh bằng tuổi tôi hiện nay thì tổng số tuổi của hai chúng ta là 98. Tìm tuổi của A và B hiện nay.

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi tuổi của A và B hiện nay lần lượt là

Lúc A có số tuổi là thì B có số tuổi là: hay

Lúc B có số tuổi là thì A có số tuổi là: hay

Theo đề bài ta có hệ phương trình: ( thỏa mãn)

Vậy tuổi của A là 42, tuổi của B là 28

12.13. Đoạn đường AB dài 160km, một ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B đến A khởi hành vào cùng một thời điểm, sau một thời gian hai xe gặp nhau tại điểm C, đoạn đường AC dài 120km. Khi đi tới B ô tô liền quay lại ngay và đuổi kịp xe máy tại điểm D. Tính vận tốc mỗi xe, biết kể từ khi khởi hành tới lúc hai xe gặp nhau tại điểm D là 4 giờ và vận tốc hai xe không đổi.

(TS lớp 10, chuyên toán tỉnh Ninh Bình, năm học 2010 - 2011)

Hướng dẫn giải - đáp số

Gọi vận tốc ô tô và xe máy lần lượt là

Vì cùng thời gian đi từ A đến C và thời gian đi từ B đến C nên ta có phương trình:

Vì khi tới B ô tô liền quay lại ngay và đuổi kịp xe máy tại điểm D và kể từ khi khởi hành tới lúc hai xe gặp nhau tại điểm D là 4 giờ, ta có phương trình:

Từ và ta có hệ phương trình: thỏa mãn điều kiện

Vậy vận tốc ô tô và xe máy lần lượt là ,