Lý thuyết Tổng hợp chương Đạo hàm lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Lý thuyết Tổng hợp chương Đạo hàm lớp 11 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết Tổng hợp chương Đạo hàm.

Lý thuyết Tổng hợp chương Đạo hàm

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM

I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và kí hiệu là f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là

Chú ý:

Đại lượng Δx = x - x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.

Đại lượng Δy = f(x) - f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x0, tính Δy = f(x0 + Δx) - f(x0).

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.

Chú ý:

a) Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0.

b) Nếu y = f(x) liên tục tại x0 thì có thể không có đạo hàm tại x0.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 2

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).

Định lí 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là

y - y0 = f’(x0)(x - x0)

trong đó y0 = f(x0).

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Vận tốc tức thời: v(t0) = s’(t0).

Cường độ tức thời: I(t0) = Q’(t0).

II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số f’: (a; b) → R

x → f’(x)

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Định lí 1

Hàm số y = xn (n ∈ N, n > 1) có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (xn)’ = nxn - 1

Định lí 2

Hàm số y = √x có đạo hàm tại mọi x dương và

II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG

1. Định lí

Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có

(u + v)’ = u’ + v’

(u - v)’ = u’ - v’

(uv)’ = u’v - v’u

2. Hệ quả

Hệ quả 1

Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = ku’.

Hệ quả 2

III. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

Định lí 4

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u'x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y'u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là y'x = y'u.u'x .

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Giới hạn của

Định lý 1

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2

Hàm số y = sin x có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (sin x)’ = cosx.

Nếu y = sin u và u = u(x) thì (sin u)’ = u’.cos u.

3. Đạo hàm của hàm số y = cos x

Định lý 3

Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (cos x)’ = -sin x .

Nếu y = cos u và u = u(x) thì (cos u)’ = -u’.sin u

4. Đạo hàm của hàm số y = tan x

Định lý 4

Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi x ≠ π/2 + kπ và

Nếu y = tan u và u = u(x) thì

5. Đạo hàm của hàm số y = cot x

Định lý 5

Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ và

Nếu y = cot u và u = u(x) thì

VI PHÂN

Cho hàm số f(n-1)(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b). Giả sử f(n-1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4) là số gia của x.

Ta gọi tích f’(x0)Δx là vi phân của hàm số n - 1 tại x ứng với số gia Δx, kí hiệu là y = f(x) hoặc dy, tức là

dy = df(x) = f’(x)Δx

ĐẠO HÀM CẤP HAI

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y’’ hoặc f’’(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y’’’ hoặc f’’’(x) hoặc f(3)(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n - 1 , kí hiệu f(n-1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n-1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).

f(n)(x) = (f(n-1)(x))’

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai f’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm các bài lý thuyết Toán lớp 11 chi tiết khác:

• Lý thuyết Phép biến hình
• Lý thuyết Phép tịnh tiến
• Lý thuyết Phép đối xứng trục
• Lý thuyết Phép đối xứng tâm
• Lý thuyết Phép quay