Dấu của nhị thức bậc nhất

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán liên quan đến dấu của nhị thức bậc nhất như xét dấu biểu thức chứa nhị thức bậc nhất, ứng dụng xét dấu nhị thức bậc nhất trong việc giải toán.

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG 1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nhị thức bậc nhất a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất: • Nhị thức bậc nhất (đối với $x$) là biểu thức dạng $ax+b$, trong đó $a$ và $b$ là hai số cho trước với $ane 0.$ • ${{x}_{0}}=-frac{b}{a}$ được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất $fleft( x right)=ax+b.$ b) Dấu của nhị thức bậc nhất: • Nhị thức bậc nhất $fleft( x right)=ax+b$ cùng dấu với hệ số $a$ khi $x$ lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số $a$ khi $x$ nhỏ hơn nghiệm của nó. • Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất:

2. Ứng dụng dấu của nhị thức bậc nhất để giải toán a) Giải bất phương trình tích: Các dạng toán: $P(x)>0$, $P(x)≥0$, $P(x)<0$, $P(x)≤0$ trong đó $Pleft( x right)$ là tích các nhị thức bậc nhất. Cách giải: Lập bảng xét dấu của $Pleft( x right)$, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình. b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu: Các dạng toán: $frac{P(x)}{Q(x)}>0$, $frac{P(x)}{Q(x)}≥0$, $frac{P(x)}{Q(x)}<0$, $frac{P(x)}{Q(x)}≤0$ trong đó $Pleft( x right)$, $Qleft( x right)$ là tích những nhị thức bậc nhất. Cách giải: Lập bảng xét dấu của $frac{P(x)}{Q(x)}$, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình. c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ): Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng toán 1. Lập bảng xét dấu biểu thức chứa nhị thức bậc nhất. Ví dụ 1. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau: a) $-2x+3.$ b) $4x-12.$ c) ${{x}^{2}}-4.$ d) $-2{{x}^{2}}+5x-2.$

a) Ta có $-2x+3=0$ $ Leftrightarrow x=frac{3}{2}$, $a=-2<0.$ Bảng xét dấu:

b) Ta có $4x-12=0$ $Leftrightarrow x=3$, $a=4>0.$ Bảng xét dấu:

c) Ta có: ${{x}^{2}}-4=left( x-2 right)left( x+2 right).$ $x-2=0$ $ Leftrightarrow x=2.$ $x+2=0$ $Leftrightarrow x=-2.$ Bảng xét dấu:

d) Ta có: $-2{{x}^{2}}+5x-2=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=2 x=frac{1}{2} end{matrix} right.$ Suy ra $-2{{x}^{2}}+5x-2$ $=-2left( x-2 right)left( x-frac{1}{2} right)$ $=left( x-2 right)left( 1-2x right).$ Bảng xét dấu:

Ví dụ 2. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau: a) $frac{-2x+3}{x-2}.$ b) $frac{4x-12}{{{x}^{2}}-4x}.$ c) $xleft( 4-{{x}^{2}} right)(x+2).$ d) $1-frac{4{{x}^{2}}}{{{left( x+1 right)}^{2}}}.$

a) Bảng xét dấu:

b) Ta có: $frac{{4x - 12}}{{{x^2} - 4x}}$ $ = frac{{4x - 12}}{{xleft( {x - 4} right)}}.$ Bảng xét dấu:

c) Ta có: $xleft( {4 - {x^2}} right)(x + 2)$ $ = xleft( {2 - x} right){left( {x + 2} right)^2}.$ Bảng xét dấu:

d) Ta có: $1 - frac{{4{x^2}}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}}$ $ = frac{{{{left( {x + 1} right)}^2} - 4{x^2}}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}}$ $ = frac{{left( {3x + 1} right)left( {1 - x} right)}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}}.$ Bảng xét dấu:

Ví dụ 3. Tùy vào $m$ xét dấu các biểu thức sau $frac{-2x+m}{x-2}.$

a) Ta có: $x-2=0$ $Leftrightarrow x=2.$ $-2x+m=0$ $Leftrightarrow x=frac{m}{2}.$ Trường hợp 1: $frac{m}{2}>2$ $Leftrightarrow m>4.$ Bảng xét dấu:

Suy ra $frac{-2x+m}{x-2}>0$ $Leftrightarrow xin left( 2;frac{m}{2} right)$ và $frac{-2x+m}{x-2}<0$ $Leftrightarrow xin left( -infty ;2 right)cup left( frac{m}{2};+infty right).$ Trường hợp 2: $frac{m}{2}=2$ $Leftrightarrow m=4.$ Ta có $frac{-2x+m}{x-2}=frac{-2x+2}{x-2}=-2.$ Suy ra $frac{-2x+m}{x-2}<0$ $Leftrightarrow xin mathbb{R}backslash left{ 2 right}.$ Trường hợp 3: $frac{m}{2}<2$ $Leftrightarrow m<4.$ Bảng xét dấu:

Suy ra $frac{-2x+m}{x-2}>0$ $Leftrightarrow xin left( frac{m}{2};2 right)$ và $frac{-2x+m}{x-2}<0$ $Leftrightarrow xin left( -infty ;frac{m}{2} right)cup left( 2;+infty right).$

Dạng toán 2. Ứng dụng xét dấu của nhị thức bậc nhất vào giải toán. Ví dụ 4. Giải các bất phương trình sau: a) $left( x-1 right)left( 2-3x right)ge 0.$ b) $left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-5x+4 right)<0.$ c) $left( 2x-1 right)left( {{x}^{3}}-1 right)le 0.$ d) $xleft( sqrt{3}x-3 right)left( 3-{{x}^{2}} right)le 0.$

a) Ta có $left( x-1 right)left( 2-3x right)=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=1 x=frac{2}{3} end{matrix} right.$ Bảng xét dấu:

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=left[ frac{2}{3};1 right].$ b) Ta có $left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-5x+4 right)$ $=left( x-2 right)left( x-1 right)left( x-4 right).$ Bảng xét dấu:

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=left( -infty ;1 right)cup left( 2;4 right).$ c) Ta có $left( 2x-1 right)left( {{x}^{3}}-1 right)le 0$ $Leftrightarrow left( 2x-1 right)left( x-1 right)left( {{x}^{2}}+x+1 right)le 0$ $Leftrightarrow left( 2x-1 right)left( x-1 right)le 0$ (vì ${{x}^{2}}+x+1={{left( x+frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{3}{4}>0$). Bảng xét dấu:

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=left[ frac{1}{2};1 right].$ d) Ta có $xleft( sqrt{3}x-3 right)left( 3-{{x}^{2}} right)le 0$ $Leftrightarrow xsqrt{3}left( x-sqrt{3} right)left( sqrt{3}-x right)left( sqrt{3}+x right)le 0$ $Leftrightarrow -sqrt{3}x{{left( x-sqrt{3} right)}^{2}}left( x+sqrt{3} right)le 0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=sqrt{3} xleft( x+sqrt{3} right)ge 0 end{matrix} right.$ Bảng xét dấu:

Suy ra $xleft( x+sqrt{3} right)ge 0$ $Leftrightarrow xin (-infty ;-sqrt{3}]cup [0;+infty ).$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-infty ;-sqrt{3}]cup [0;+infty ).$

Ví dụ 5. Giải các bất phương trình sau: a) $frac{-2x+4}{left( 2x-1 right)left( 3x+1 right)}le 0.$ b) $frac{left( x-3 right)left( x+2 right)}{{{x}^{2}}-1}<1.$ c) $frac{1}{{{left( x-2 right)}^{2}}}le frac{1}{x+4}.$

a) Bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-frac{1}{3};frac{1}{2})cup [text{ 2};+infty ).$ b) Ta có $frac{left( x-3 right)left( x+2 right)}{{{x}^{2}}-1}<1$ $Leftrightarrow 1-frac{left( x-3 right)left( x+2 right)}{{{x}^{2}}-1}>0$ $Leftrightarrow frac{x+5}{left( x-1 right)left( x+1 right)}>0.$ Bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-5;-1)cup (1;+infty ).$ c) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} xne 2 xne -4 end{matrix} right.$ Ta có $frac{1}{{{left( x-2 right)}^{2}}}le frac{1}{x+4}$ $Leftrightarrow frac{1}{x+4}-frac{1}{{{left( x-2 right)}^{2}}}ge 0$ $Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}-4x}{left( x+4 right){{left( x-2 right)}^{2}}}ge 0$ $Leftrightarrow frac{xleft( x-4 right)}{left( x+4 right){{left( x-2 right)}^{2}}}ge 0$ $Leftrightarrow frac{xleft( x-4 right)}{left( x+4 right)}ge 0.$ Bảng xét dấu:

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-4;0]cup [4;+infty ).$

Ví dụ 6. Giải các bất phương trình sau: a) $left| 2x+1 right|<3x.$ b) $left| left| 2x-1 right|-4 right|>3.$ c) $left| x+1 right|-left| x-2 right|ge 3.$

a) + Với $xge -frac{1}{2}$ ta có bất phương trình tương đương với $2x+1<3x$ $Leftrightarrow x>1.$ Kết hợp với điều kiện $xge -frac{1}{2}$ suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $left( 1;+infty right).$ + Với $x<-frac{1}{2}$ ta có bất phương trình tương đương với $-2x-1<3x$ $Leftrightarrow x>-frac{1}{5}.$ Kết hợp với điều kiện $x<-frac{1}{2}$ suy ra bất phương trình vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=left( 1;+infty right).$ b) Ta có $left| left| 2x-1 right|-4 right|>3$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} left| 2x-1 right|-4>3 left| 2x-1 right|-4<-3 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} left| 2x-1 right|>7 left| 2x-1 right|<1 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} begin{align} & 2x-1>7 & 2x-1<-7 end{align} -1<2x-1<1 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} begin{align} & x>4 & x<-3 end{align} 0<x<1 end{matrix} right.$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=left( -infty ;-3 right)cup left( 0;1 right)cup left( 4;+infty right).$ c) Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu đó ta chia ra các trường hợp sau: + Với $x<-1$ ta có bất phương trình tương đương với $-left( x+1 right)+left( x-2 right)ge 3$ $Leftrightarrow -3ge 3$ (vô nghiệm). + Với $-1le x<2$ ta có bất phương trình tương đương với $left( x+1 right)+left( x-2 right)ge 3$ $Leftrightarrow xge 2.$ Kết hợp với điều kiện $-1le x<2$ suy ra bất phương trình vô nghiệm. + Với $xge 2$ ta có bất phương trình tương đương với $left( x+1 right)-left( x-2 right)ge 3$ $Leftrightarrow 3ge 3.$ Kết hợp với điều kiện $xge 2$ suy ra bất phương trình có nghiệm là $xge 2.$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2;+infty ).$

Ví dụ 7. Giải các bất phương trình sau: a) $frac{left| x-2 right|-x}{x}<1.$ b) $frac{left| x-1 right|-1}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}ge 0.$

a) + Với $xge 2$ ta có bất phương trình tương đương với $frac{x-2-x}{x}<1$ $Leftrightarrow frac{-2}{x}<1$ $Leftrightarrow x>-2.$ Kết hợp điều kiện $xge 2$ suy ra tập nghiệm bất phương trình là ${{S}_{1}}=[2;+infty ).$ + Với $x<2$ ta có bất phương trình tương đương với $frac{2-x-x}{x}<1$ $Leftrightarrow frac{2-2x}{x}<1$ $Leftrightarrow 1-frac{2-2x}{x}>0$ $Leftrightarrow frac{3x-2}{x}>0.$ Bảng xét dấu:

Kết hợp điều kiện $x<2$ suy ra tập nghiệm bất phương trình là ${{S}_{2}}=(-infty ;0)cup (frac{2}{3};2).$ Vậy tập nghiệm bất phương trình là $text{S}={{S}_{1}}cup {{S}_{2}}=(-infty ;0)cup (frac{2}{3};+infty ).$ b) Điều kiện xác định: ${{x}^{4}}-{{x}^{2}}ne 0$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xne 0 xne pm 1 end{matrix} right.$ Ta có $frac{left| x-1 right|-1}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}ge 0$ $Leftrightarrow frac{left( left| x-1 right|+1 right)left( left| x-1 right|-1 right)}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}ge 0$ $Leftrightarrow frac{{{left| x-1 right|}^{2}}-1}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}ge 0$ $ Leftrightarrow frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^4} - {x^2}}} ge 0$ $ Leftrightarrow frac{{xleft( {x - 2} right)}}{{{x^2}left( {x - 1} right)left( {x + 1} right)}} ge 0$ $ Leftrightarrow frac{{x - 2}}{{xleft( {x - 1} right)left( {x + 1} right)}} ge 0.$ Bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: $S = left( { - infty ; - 1} right) cup left( {0;1} right) cup left[ {2; + infty } right).$