Bài 11 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ điểm M khác điểm A trên tiếp tuyến với đường tròn tại A, ta vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Vẽ tiếp tuyến MI tiếp xúc với (O) tại I. Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM tại E và F. Chứng minh:

a) MICE là tứ giác nội tiếp.

b) O là trung điểm của EF.

Lời giải chi tiết

a) Ta có (OA = OI = R Rightarrow O) thuộc trung trực của AI.

(MA = MI) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ( Rightarrow ) M thuộc trung trực của AI.

( Rightarrow OM) là trung trực của AI ( Rightarrow OM bot AI).

Ta có : (widehat {AIB} = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ( Rightarrow IB bot AI)

( Rightarrow OM//IB Rightarrow widehat {IBC} = widehat {CEO}) (hai góc so le trong bằng nhau).

Lại có (widehat {IBC} = widehat {CIM}) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung IC)

( Rightarrow widehat {CEO} = widehat {CIM})(left( { = widehat {IBC}} right)).

Mà (widehat {CEO} + widehat {CEM} = {180^0}) (hai góc kề bù) ( Rightarrow widehat {CIM} + widehat {CEM} = {180^0} Rightarrow )Tứ giác MICE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

b) Gọi G là giao điểm của AF và đường tròn (left( O right)). Xét tứ giác ACBG nội tiếp đường tròn (left( O right)) có (widehat {ABC} = widehat {AGC}) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Mà tam giác OAG cân tại O (do (OA = OG)) ( Rightarrow widehat {AGC} = widehat {OAG} Rightarrow widehat {ABC} = widehat {OAG}).

Ta có: (widehat {ACB} = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ( Rightarrow Delta ABC) vuông tại C ( Rightarrow widehat {ABC} + widehat {BAC} = {90^0})

( Rightarrow widehat {OAG} + widehat {BAC} = {90^0} )

(Rightarrow widehat {CAG} = {90^0} ) (Rightarrow AG bot AC). Mà (AC bot BC,,left( {widehat {ACB} = {{90}^0}} right) Rightarrow AG//BC).

Và (widehat {CAG}) nội tiếp chắn nửa đường tròn ( Rightarrow O) là trung điểm của CG ( Rightarrow OC = OG)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: (dfrac{{OE}}{{OF}} = dfrac{{OC}}{{OG}} = 1 Rightarrow OE = OF). Vậy O là trung điểm của EF.

Loigiaihay.com